Soal-Soal Matematika/Materi:Polinomial

Berikut adalah soal-soal yang bisa digunakan untuk mempelajari mengenai polinomial.

Persamaan linear

Lihat: Soal-Soal Matematika/Persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel

Persamaan kuadrat

• Akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+9x-18=0$ adalah c dan d. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2c+1 dan 2d+1 adalah...

Jawaban

Menggunakan teorema Vieta, bisa disimpulkan bahwa

$c+d=-\frac{9}{2}$

$cd=\frac{-18}{2}=-9$

Persamaan kuadrat dengan akar 2c+1 dan 2d+1 akan berbentuk $(x-(2c+1))(x-(2d+1))$. Uraikan persamaannya.

$(x-(2c+1))(x-(2d+1))$

$=x^2-(2c+1)x-(2d+1)x+(2c+1)(2d+1)$

$=x^2-(2c+1)x-(2d+1)x+(4cd+2c+2d+1)$

$=x^2-(2c+2d+1+1)x+(4cd+2c+2d+1)$

$=x^2-(2(c+d)+2)x+(4cd+2(c+d)+1)$

$=x^2-(2(-\frac{9}{2})+2)x+(4(-9)+2(-\frac{9}{2})+1)$

$=x^2-(-9+2)x+(-36-9+1)$

$=x^2+7x-44$

Jadi persamaan kuadrat yang barunya adalah $x^2+7x-44$

• Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan $x^2-x-6=0$ maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3x₁+2 dan 3x₂+2 adalah...

Jawaban

Menggunakan teorema Vieta, bisa disimpulkan bahwa

$x_1+x_2=-\frac{-1}{1}=1$

$x_1{x}_2=\frac{-6}{1}=-6$

Persamaan kuadrat dengan akar 3x₁+2 dan 3x₂+2 akan berbentuk $(x-(3x_1+2))(x-(3x_2+2))$. Uraikan persamaannya.

$(x-(3x_1+2))(x-(3x_2+2))$

$=x^2-(3x_1+2)x-(3x_2+2)x+(3x_1+2)(3x_2+2)$

$=x^2-(3x_1+2)x-(3x_2+2)x+(9x_1{x}_2+6x_1+6x_2+4)$

$=x^2-(3x_1+3x_2+2+2)x+(9x_1{x}_2+6x_1+6x_2+4)$

$=x^2-(3(x_1+x_2)+4)x+(9x_1{x}_2+6(x_1+x_2)+4)$

$=x^2-(3(1)+4)x+(9(-6)+6(1)+4)$

$=x^2-(3+4)x+(-54+6+4)$

$=x^2-7x-44$

Jadi persamaan kuadrat yang barunya adalah $x^2-7x-86$

• Akar-akar persamaan kuadrat $x^2-7x-p=0$ adalah c dan d. Jika $c^2+d^2=29$, maka berapa nilai p?

Jawaban

Menggunakan teorema Vieta, bisa disimpulkan bahwa

$c+d=-\frac{-7}{1}=7$

$cd=\frac{-p}{1}=-p$

Hubungan antara $c^2+d^2$ dengan $c+d$ dan $cd$ adalah:

$c^2+d^2=(c+d{)}^2-2cd$

Substitusikan $c^2+d^2$ dari persamaan di soal, dan $c+d$ dan $cd$ dari persamaan teorema Vieta. $$\begin{array}{cc}{c}^2+d^2& =(c+d{)}^2-2cd\\ 29& =7^2-2(-p)\\ 29& =49+2p\\ -20& =2p\\ -10& =p\end{array}$$

Jadi nilai p adalah -10

• Tentukan nilai x dari persamaan $x^2-7x=10-4x$!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{x}^2-7x& =10-4x\\ x^2-3x-10& =0\\ (x+2)(x-5)& =0\\ x=-2& \vee x=5\end{array}$$

$HP=\{x|x=\{-2,5\},x\in R\}$