Subjek:Matematika/Materi:Matriks

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom dan ditempatkan pada kurung biasa atau kurung siku.

Penulisan matriks:

$\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 4\end{array}\right)$

atau

$\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 4\end{array}\right]$

Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n).

$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 1& 4& -7\end{array}\right)$ Matriks di atas berordo 3x2.

Matriks Identitas (I)

Matriks identitas (I)adalah matriks yang nilai-nilai elemen pada diagonal utama selalu 1.

$I=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Matriks Transpose (A^t)

Matriks transpose adalah matriks yang mengalami pertukaran elemen dari baris menjadi kolom dan sebaliknya. Contoh:

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 1& 4& -7\end{array}\right)$

maka matriks transposenya (A^t) adalah $A^t=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\\ 5& -7\end{array}\right)$

Operasi perhitungan pada matriks

Kesamaan 2 matriks

2 matriks dikatakan sama jika ordonya sama dan elemen yang seletak sama.

Contoh: $\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 1& 4& -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 6x& z-y\\ 2y+2& 4& -7\end{array}\right)$

Tentukan nilai 2x-y+5z!

Jawab:

$6x=3$ maka $x=\frac{1}{2}$

$2y+2=1$ maka $y=-\frac{1}{2}$

$z-y=5$ maka $z=\frac{9}{2}$

$2x-y+5z$

$=2\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}+5\left(\frac{9}{2}\right)$

$=23$

Penjumlahan matriks

2 matriks bisa dijumlahkan jika ordonya sama dan penjumlahan dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen yang seletak.

Contoh: $\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 1& 4& -7\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}2& 6x& z-y\\ 2y+2& 4& -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& 3+6x& 5+z-y\\ 2y+3& 8& -14\end{array}\right)$

Pengurangan matriks

2 matriks bisa dikurangkan jika ordonya sama dan pengurangan dilakukan dengan cara mengurangkan dari elemen yang seletak.

Contoh: $\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 1& 4& -7\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2& 6x& z-y\\ 2y+2& 4& -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 3-6x& 5-z-y\\ -2y-1& 0& 0\end{array}\right)$

Perkalian bilangan dengan matriks

Contoh:

$3\left(\begin{array}{ccc}2& 6x& z-y\\ 2y+2& 4& -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}6& 18x& 3z-3y\\ 6y+6& 12& -21\end{array}\right)$

Perkalian matriks

2 Matriks dapat dikalikan jika jumlah baris matriks A = jumlah kolom matriks B.

Penghitungan perkalian matriks:

Misalkan:

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ dan $B=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$

maka $A\times B=\left(\begin{array}{cc}ap+br& aq+bs\\ cp+dr& cq+ds\end{array}\right)$

Contoh:

$\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}9& 8\\ 2& 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}30& 76\\ 35& 64\end{array}\right)$

Determinan suatu matriks

Matriks ordo 2x2

Misalkan:

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

maka Determinan A (ditulis $\left|A\right|$ ) adalah:

$\left|A\right|=a\times d-b\times c$

Matriks ordo 3x3

Cara Sarrus

Misalkan:

Jika $A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$ maka tentukan $\left|A\right|$!

$\left|A\right|=\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|\begin{array}{cc}a& b\\ d& e\\ g& h\end{array}$

Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) sehingga menjadi:

$\left|A\right|=a.e.i+b.f.g+c.d.h-g.e.c-h.f.a-i.d.b$

Contoh:

$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 1\\ 3& 2& -1\\ 1& -3& 5\end{array}\right)$ maka tentukan $\left|A\right|$!

$\left|A\right|=\left|\begin{array}{ccc}-2& 0& 1\\ 3& 2& -1\\ 1& -3& 5\end{array}\right|\begin{array}{cc}-2& 0\\ 3& 2\\ 1& -3\end{array}$

$\left|A\right|=(-\mathrm{2.2.5})+(0.-1.-1)+(\mathrm{1.3.}-3)-(\mathrm{1.2.1})-(-2.-1.-3)-(\mathrm{0.3.5})=-20+0-9-2+6-0=-25$

Cara ekspansi baris-kolom

Misalkan:

Jika $P=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 1\\ 3& 2& -1\\ 1& -3& 5\end{array}\right)$ maka tentukan $\left|P\right|$ dengan ekspansi baris pertama!

$\left|P\right|=-2\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 5\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 5\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& -3\end{array}\right|$

$\left|P\right|=-2(10-3)-0+1(-9-2)=-25$

Matriks Singular

Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya 0.

Contoh:

$P=\left(\begin{array}{cc}-4& 5x\\ -x& 20\end{array}\right)$

Jika A matriks singular, tentukan nilai x!

Jawab:

$-80+5x^2=0$

$5(x^2-16)=0$

$x=-4$ vs $x=4$

Invers matriks

Invers matriks 2x2

Misalkan:

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

maka inversnya adalah:

$A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)=\frac{1}{a.d-b.c}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

Sifat-sifat invers matriks

$A.A^{-1}=I=A^{-1}.A$

$(AB{)}^{-1}=B^{-1}.A^{-1}$

$(A^{-1}{)}^{-1}=A$

$AI=A=IA$

Persamaan matriks

Tentukan X matriks dari persamaan:

• Jika diketahui matriks A.X=B

$A.X=B$

$A^{-1}.A.X=A^{-1}.B$

$I.X=A^{-1}.B$

$X=A^{-1}.B$

• Jika diketahui matriks X.A=B

$X.A=B$

$X.A.A^{-1}=B.A^{-1}$

$X.I=B.A^{-1}$

$X=B.A^{-1}$