Subjek:Matematika/Materi:Integral

Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ƒ(x), antara dua titik a dan b.

Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah.

Integral Tak Tentu

Integral tak tentu mempunyai rumus umum:

$\int F(x)dx=F(x)+c$

Keterangan:

• c : konstanta

Pengintegralan standar

Jika $f(x)=a$ maka:

$\int a\mathrm{d}x=ax+c$

Jika $f(x)=a{x}^n$ maka:

$\int a{x}^n\mathrm{d}x=(\frac{a{x}^{n+1}}{n+1})+c$

Jika $f(x)=(ax+b{)}^n$ maka:

$\int (ax+b{)}^n\mathrm{d}x=(\frac{(ax+b{)}^{n+1}}{a(n+1)})+c$

Pengintegralan khusus

$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+k$

$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln f(x)+k$

$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+k$

Sifat-sifat

• $\int af(x)\mathrm{d}x=a\int f(x)\mathrm{d}x+k$

• $\int (f(x)\pm g(x))\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x\pm \int g(x)\mathrm{d}x$

Integral Tentu

Integral tentu digunakan untuk mengintegralkan suatu fungsi f(x) tertentu yang memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tentu mempunyai rumus umum:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(x)dx=F(b)-F(a)$

Keterangan:

• konstanta c tidak lagi dituliskan dalam integral tentu.

Integral trigonometri

• $\int \sin (ax)dx=-\frac{1}{a}\cos (ax)+k$
• $\int \cos (ax)dx=\frac{1}{a}\sin (ax)+k$
• $\int \sec (ax)tan(ax)dx=\frac{1}{a}\sec (ax)+k$
• $\int {\sec }^2(ax)dx=\frac{1}{a}\tan (ax)+k$
• $\int {\csc }^2(ax)dx=-\frac{1}{a}\cot (ax)+k$
• $\int \csc (ax)\cot (ax)dx=-\frac{1}{a}\csc (ax)+k$

• $\int \cos (ax+b)dx=\frac{1}{a}\sin (ax+b)+k$
• $\int \sin (ax+b)dx=-\frac{1}{a}\cos (ax+b)+k$
• $\int {\sec }^2(ax+b)dx=\frac{1}{a}\tan (ax+b)+k$

• $\int \sec (x)dx=\ln |\sec (x)+tan(x)|+k$
• $\int \csc (x)dx=-\ln |\csc (x)+cot(x)|+k$

• $\int \tan (x)dx=-\ln |\cos (x)|+k$
• $\int \tan (x)dx=\ln |\sec (x)|+k$

• $\int \cot (x)dx=\ln |\sin (x)|+k$
• $\int \cot (x)dx=-\ln |\csc (x)|+k$

Ingat-ingat juga beberapa sifat-sifat trigonometri, karena mungkin akan digunakan:

${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$

$1+{\tan }^{2}A=\frac{1}{{\cos }^{2}A}={\sec }^{2}A$

$1+{\cot }^{2}A=\frac{1}{{\sin }^{2}A}={\csc }^{2}A$

$\sin 2A=2\sin A\cos A$

$\cos 2A={\cos }^{2}A-{\sin }^{2}A=2{\cos }^{2}A-1=1-2{\sin }^{2}A$

$2\sin A\times \cos B=\sin (A+B)+\sin (A-B),$

$2\cos A\times \sin B=\sin (A+B)-\sin (A-B),$

$2\cos A\times \cos B=\cos (A+B)+\cos (A-B),$

$2\sin A\times \sin B=-\sin (A+B)+\cos (A-B),$

Substitusi trigonometri

Integral yang mengandung a² − x²

Pada integral

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$

kita dapat menggunakan

$x=a\sin (\theta ),dx=a\cos (\theta )d\theta ,\theta =\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)$

$\begin{array}{cc}\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}& =\int \frac{a\cos (\theta )d\theta }{\sqrt{a^2-a^2{\sin }^2(\theta )}}=\int \frac{a\cos (\theta )d\theta }{\sqrt{a^2(1-{\sin }^2(\theta ))}}\\ & =\int \frac{a\cos (\theta )d\theta }{\sqrt{a^2{\cos }^2(\theta )}}=\int d\theta =\theta +C=\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)+C\end{array}$

Catatan: semua langkah diatas haruslah memenuhi syarat a > 0 dan cos(θ) > 0;

Integral yang mengandung a² + x²

Pada integral

$\int \frac{dx}{a^2+x^2}$

kita dapat menuliskan

$x=a\tan (\theta ),dx=a{\sec }^2(\theta )d\theta$

$\theta =\arctan \left(\frac{x}{a}\right)$

maka integralnya menjadi

$\begin{array}{cc}& \int \frac{dx}{a^2+x^2}=\int \frac{a{\sec }^2(\theta )d\theta }{a^2+a^2{\tan }^2(\theta )}=\int \frac{a{\sec }^2(\theta )d\theta }{a^2(1+{\tan }^2(\theta ))}\\ & =\int \frac{a{\sec }^2(\theta )d\theta }{a^2{\sec }^2(\theta )}=\int \frac{d\theta }{a}=\frac{\theta }{a}+C=\frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C\end{array}$

(syarat: a ≠ 0).

Integral yang mengandung x² − a²

Pada integral

$\int \sqrt{x^2-a^2}dx$

dapat diselesaikan dengan substitusi:

$x=a\sec (\theta ),dx=a\sec (\theta )\tan (\theta )d\theta$

$\theta =\mathrm{arcsec}\left(\frac{x}{a}\right)$

$\begin{array}{cc}& \int \sqrt{x^2-a^2}dx=\int \sqrt{a^2{\sec }^2(\theta )-a^2}\cdot a\sec (\theta )\tan (\theta )d\theta \\ & =\int \sqrt{a^2({\sec }^2(\theta )-1)}\cdot a\sec (\theta )\tan (\theta )d\theta =\int \sqrt{a^2{\tan }^2(\theta )}\cdot a\sec (\theta )\tan (\theta )d\theta \\ & =\int a^2\sec (\theta ){\tan }^2(\theta )d\theta =a^2\int \sec (\theta )({\sec }^2(\theta )-1)d\theta \\ & =a^2\int ({\sec }^3(\theta )-\sec (\theta ))d\theta .\end{array}$

Teknik pemecahan sebagian pada pengintegralan

Polinomial tingkat pertama pada penyebut

Misalkan u = ax + b, maka du = a dx akan menjadikan integral

$\int \frac{1}{ax+b}dx$

menjadi

$\int \frac{1}{u}\frac{du}{a}=\frac{1}{a}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{a}\ln \left|u\right|+C=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+C.$

Contoh lain:

Dengan pemisalan yang sama di atas, misalnya dengan integral

$\int \frac{1}{(ax+b{)}^8}dx$

akan berubah menjadi

$\int \frac{1}{u^8}\frac{du}{a}=\frac{1}{a}\int u^{-8}du=\frac{1}{a}\cdot \frac{u^{-7}}{(-7)}+C=\frac{-1}{7a{u}^7}+C=\frac{-1}{7a(ax+b{)}^7}+C.$

Integral Parsial

Jika dimisalkan u = f(x), v = g(x), dan diferensialnya du = f '(x) dx dan dv = g'(x) dx, maka integral parsial menyatakan bahwa:

$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$

atau dapat ditulis juga:

$\int udv=uv-\int vdu$