Subjek:Matematika/Materi:Diferensial

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai masukan. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu fungsi berubah akibat perubahan variabel; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.

Definisi

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Biaya marjinal

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }C}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{C(x+h)}{h}=C^{\prime }(x)$

Sifat turunan

Dalam hal ini, Templat:Math, untuk bilangan riil Templat:Math dan Templat:Math dan kemiringan Templat:Math diberikan oleh

$m=\frac{\text{mengalih pada }y}{\text{mengalih pada }x}=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x},$

Apa itu simbol Templat:Math adalah singkatan untuk perubahan. $\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$

Rumus di atas berlaku karena

$\begin{array}{cc}y+\mathrm{\Delta }y& =f(x+\mathrm{\Delta }x)\\ & =m(x+\mathrm{\Delta }x)+b=mx+m\mathrm{\Delta }x+b\\ & =y+m\mathrm{\Delta }x.\end{array}$

Hasilnya adalah

$\mathrm{\Delta }y=m\mathrm{\Delta }x.$

Nilai tersebut memberikan untuk kemiringan garis.

Sifat - sifat turunan

Linearitas

• $\frac{d}{dx}(u\pm v)=u^{\prime }\pm v^{\prime }$
• $\frac{d}{dx}(nu)=n\frac{du}{dx}$

Aturan produk

• $\frac{d}{dx}(uv)=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

Dalil rantai

• $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dv}\cdot \frac{dv}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

Sifat umum lain

• $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$
• $\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}$
• $\frac{d}{dx}(u^n)=n{u}^{n-1}\cdot \frac{du}{dx}$

Dimana fungsi $u$ dan $v$ adalah fungsi satu variabel $x$.

Eksponen dan bilangan natural

• $\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$
• $\frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln a$

Logaritma dan bilangan natural

• $\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$
• $\frac{d}{dx}({\log }_{a}x)=\frac{1}{x\ln a}$

Trigonometri

• $\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$
• $\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$
• $\frac{d}{dx}(\tan x)={\sec }^{2}x$
• $\frac{d}{dx}(\cot x)=-{\csc }^{2}x$
• $\frac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x$
• $\frac{d}{dx}(\csc x)=-\csc x\cot x$

Invers

• $\frac{d}{dx}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\frac{d}{dx}(\arccos x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\frac{d}{dx}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}$
• $\frac{d}{dx}(\mathrm{arccot}x)=\frac{-1}{1+x^2}$
• $\frac{d}{dx}(\mathrm{arcsec}x)=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$
• $\frac{d}{dx}(\mathrm{arccsc}x)=\frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}$

Hiperbolik

• $\frac{d}{dx}(\sinh x)=\cosh x$
• $\frac{d}{dx}(\cosh x)=\sinh x$
• $\frac{d}{dx}(\tanh x)={\text{sech}}^{2}x$
• $\frac{d}{dx}(\coth x)=-{\text{csch}}^{2}x$
• $\frac{d}{dx}(\text{sech}x)=-\text{sech}x\tanh x$
• $\frac{d}{dx}(\text{csch}x)=-\text{csch}x\coth x$

Contoh soal dalam aplikasi turunan

NB

hasil nilai turunan pada maksimum/terbesar atau minimum/terkecil dianggap nol agar tercapai.

• Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva $y=x^3+2x^2-5x$ di titik $(1,-2)$!

$y=x^3+2x^2-5x$

$m=y^{\prime }=3x^2+4x-5$

masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

$m=y^{\prime }=3(1{)}^2+4(1)-5=2$

persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)

$y-y_1=m(x-x_1)$

$y-(-2)=2(x-1)$

$y=2x-4$

• Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan kurva $y=x^3+2x^2-5x$ di titik $(1,-2)$!

$y=x^3+2x^2-5x$

$m=y^{\prime }=3x^2+4x-5$

masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

$m=y^{\prime }=3(1{)}^2+4(1)-5=2$

karena tegak lurus maka nilai m_t

$m_t=-\frac{1}{m}$

$m_t=-\frac{1}{2}$

persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)

$y-y_1=m_t(x-x_1)$

$y-(-2)=-\frac{1}{2}(x-1)$

$2(y+2)=-x+1$

$2y+4=-x+1$

$2y=-x-3$

• Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari $3x-900+\frac{120}{x}$ ratus ribu rupiah. Berapa hari agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan?

biaya dalam 1 hari $B(1)=3x-900+\frac{120}{x}$

biaya dalam x hari $B(x)=x(3x-900+\frac{120}{x})$

$B(x)=3x^2-900x+120$

biaya minimum tercapai saat turunannya = 0

$B^{\prime }(x)=0$

$B^{\prime }(x)=6x-900=0$

$6x=900$

$x=150$ hari

• Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar $75+2x+0,1x^2$ ribu rupiah. Jika semua produk perusahaan terjual dengan harga Rp40,000 untuk setiap produknya. Berapa laba maksimum yang diperolehnya?

laba = total penjualan - total biaya

laba $L(x)=40x-(75+2x+0,1x^2)$

$L(x)=-75+38x-0,1x^2$

laba maksimum tercapai saat turunannya = 0

$L^{\prime }(x)=0$

$L^{\prime }(x)=38-0,2x=0$

$0,2x=38$

$x=190$

$L(190)=-75+38(190)-0,1(190{)}^2$

$L(190)=-75+7,220-3,610$

$L(190)=3,535$ ribu rupiah

• Jumlah dari bilangan pertama dan bilangan kedua kuadrat adalah 75. Berapa nilai terbesar dari hasil kali?

Misalkan: bilangan pertama = x dan bilangan kedua = y

$x+y^2=75$

$x=75-y^2$

hasil kali: $f(y)=x\cdot y$

$f(y)=(75-y^2)\cdot y$

$f(y)=75y-y^3$

nilai terbesar dari hasil kali tercapai saat turunannya = 0

$f^{\prime }(y)=0$

$f^{\prime }(y)=75-3y^2=0$

$3y^2=75$

$y^2=25$

$y_1=5atau{y}_2=-5$

karena nilai terbesar maka terambil y = 5, kita cari x

$x=75-(5{)}^2$

$x=50$

nilai terbesar hasil kali: $50\cdot 5=250$