Soal-Soal Matematika/Vektor

Vektor

Posisi vektor

$\vec{a} = (a_{1}, a_{2}) = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j}$

\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}

Panjang vektor

Berada di $R^{2}$

Panjang vektor a dalam posisi

(a_{1}, a_{2})

adalah

| \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

Panjang vektor b dalam posisi

(b_{1}, b_{2})

adalah

| \vec{b} | = \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}

Panjang vektor c dalam posisi

(a_{1}, a_{2})

dan

(b_{1}, b_{2})

adalah

| \vec{c} | = \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2}}

Berada di $R^{3}$

Panjang vektor a dalam posisi

(a_{1}, a_{2}, a_{3})

adalah

| \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

Panjang vektor b dalam posisi

(b_{1}, b_{2}, b_{3})

adalah

| \vec{b} | = \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}}

Panjang vektor c dalam posisi

(a_{1}, a_{2}, a_{3})

dan

(b_{1}, b_{2}, b_{3})

adalah

| \vec{c} | = \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2} + (b_{3} - a_{3})^{2}}

Jumlah dan selisih kedua vektor

$| \vec{a} \pm \vec{b} | = \sqrt{| \vec{a} |^{2} + | \vec{b} |^{2} \pm 2 \cdot | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot c o s C}$

Vektor satuan

\hat{a} = \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}

Operasi aljabar pada vektor

Penjumlahan dan pengurangan

terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang

\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} \\ a_{2} + b_{2} \end{matrix})

\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) - (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} - b_{1} \\ a_{2} - b_{2} \end{matrix})

Perkalian

skalar dengan vektor

Jika k skalar tak nol dan vektor $\vec{a} = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}$ maka vektor $k \vec{a} = (k a_{1}, k a_{2}, k a_{3})$

titik dua vektor

Jika vektor $\vec{a} = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}$ dan vektor $\vec{b} = b_{1} \hat{i} + b_{2} \hat{j} + b_{3} \hat{k}$ maka $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

titik dua vektor dengan membentuk sudut

Jika $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ vektor tak nol dan sudut $α$ diantara vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ maka perkalian skalar vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah $\vec{a} \cdot \vec{b}$ = $| \vec{a} | \cdot | \vec{b} | c o s α$

silang dua vektor

Jika vektor $\vec{a} = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}$ dan vektor $\vec{b} = b_{1} \hat{i} + b_{2} \hat{j} + b_{3} \hat{k}$ maka $\vec{a} \times \vec{b} = (a_{2} b_{3} \hat{i} + a_{3} b_{1} \hat{j} + a_{1} b_{2} \hat{k}) - (a_{2} b_{1} \hat{k} + a_{3} b_{2} \hat{i} + a_{1} b_{3} \hat{j})$

[\begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} & \hat{i} & \hat{j} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} & b_{1} & b_{2} \\ - & - & - + & + & + \end{matrix}]

silang dua vektor dengan membentuk sudut

Jika $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ vektor tak nol dan sudut $α$ diantara vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ maka perkalian skalar vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah $\vec{a} \times \vec{b}$ = $| \vec{a} | \cdot | \vec{b} | s i n α$

Sifat operasi aljabar pada vektor

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
$\vec{a} + 0 = 0 + \vec{a}$
$k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b}$
$(k + l) \vec{a} = k \vec{a} + l \vec{a}$
$\vec{a} + (- \vec{a}) = 0$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
$(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$
$\vec{a} \cdot 1 = 1 \cdot \vec{a}$
$k (\vec{a} \cdot \vec{b}) = k \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot k \vec{b}$
$(k \cdot l) \vec{a} = k (l \cdot \vec{a})$
$\vec{a} \cdot \vec{a} = {| \vec{a} |}^{2}$
$\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}$
$\vec{a} \times \vec{b} = - (\vec{b} \times \vec{a})$
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \neq \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$
$k (\vec{a} \times \vec{b}) = k \vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times k \vec{b}$
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$
$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

Hubungan vektor dengan vektor lain

Perkalian titik

Saling tegak lurus

Jika tegak lurus antara vektor $\vec{a}$ dengan vektor $\vec{b}$ maka

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cos 90^{\circ}

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

Sejajar

Jika vektor $\vec{a}$ sejajar dengan vektor $\vec{b}$ maka

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cos 0^{\circ}

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cos 180^{\circ}

\vec{a} \cdot \vec{b} = - | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |

Perkalian silang

Saling tegak lurus

Jika tegak lurus antara vektor $\vec{a}$ dengan vektor $\vec{b}$ maka

\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \sin 90^{\circ}

\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |

\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \sin 270^{\circ}

\vec{a} \times \vec{b} = - | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |

Jika $β > 90^{\circ}$ maka dua vektor tersebut searah

Jika $β < 90^{\circ}$ maka vektor saling berlawanan arah

Sejajar

Jika vektor $\vec{a}$ sejajar dengan vektor $\vec{b}$ maka

\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \sin 0^{\circ}

\vec{a} \times \vec{b} = 0

Sudut dua vektor

Jika vektor $\vec{a}$ dan vektor $\vec{b}$ sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah $c o s α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$

Panjang proyeksi dan proyeksi vektor

catatan

| \vec{c} | = | \vec{a} | c o s a

dan

\hat{b} = \frac{\vec{b}}{| \vec{b} |}

Panjang proyeksi vektor (proyeksi skalar ortogonal)

\vec{a}

pada vektor

\vec{b}

adalah

| \vec{c} | = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |}

Proyeksi vektor (proyeksi vektor ortogonal)

\vec{a}

pada vektor

\vec{b}

adalah

\vec{c} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{{| \vec{b} |}^{2}} \cdot \vec{b}

Metode

perhatikan garis-garis sesuai dengan arah panahnya dalam bentuk rumus seperti $\vec{A B}, \vec{B A}, d l l$ jika tidak ada tulisan O maka dianggap AB = b-a kecuali keterangan tertulis.

segitiga: $\vec{R} = \vec{a} + \vec{b}$; $| \vec{A B} | = | \vec{O B} | - | \vec{O A} | = \vec{b} - \vec{a}$; $| \vec{A B} | = - | \vec{B A} |$

jajar genjang: $\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$; $| \vec{B A} | = | \vec{O A} | - | \vec{O B} | = \vec{a} - \vec{b}$; $\vec{R} = | \vec{a} \pm \vec{b} | = \sqrt{| \vec{a} |^{2} + | \vec{b} |^{2} \pm 2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot c o s C}$

Titik segaris (kolinear)

Titik A, B dan C dikatakan segaris memenuhi persamaan sebagai berikut:

\vec{A B} = k \vec{B C}, \vec{B C} = k \vec{A C}, \vec{A C} = k \vec{A B}

Perbandingan

Aturan jajar genjang: Posisi vektor; $\vec{N} = \frac{m s + n r}{m + n}$

Berada di

R^{2}

\vec{N} = (\frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}, \frac{m y_{2} + n y_{1}}{m + n})

Berada di

R^{3}

\vec{N} = (\frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}, \frac{m y_{2} + n y_{1}}{m + n}, \frac{m z_{2} + n z_{1}}{m + n})

Satu garis

Perbandingan posisi dalam adalah m:n

Posisi vektor

\vec{N} = \frac{m s + n r}{m + n}

Berada di

R^{2}

\vec{N} = (\frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}, \frac{m y_{2} + n y_{1}}{m + n})

Berada di

R^{3}

\vec{N} = (\frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}, \frac{m y_{2} + n y_{1}}{m + n}, \frac{m z_{2} + n z_{1}}{m + n})

Perbandingan posisi luar adalah m:-n

Posisi vektor

\vec{N} = \frac{m s - n r}{m - n}

Berada di

R^{2}

\vec{N} = (\frac{m x_{2} - n x_{1}}{m - n}, \frac{m y_{2} - n y_{1}}{m - n})

Berada di

R^{3}

\vec{N} = (\frac{m x_{2} - n x_{1}}{m - n}, \frac{m y_{2} - n y_{1}}{m - n}, \frac{m z_{2} - n z_{1}}{m - n})

Luas

Luas segitiga

misalkan vektor A (x1,y1,z1) dan B (x2,y2,z2) dengan sudut lancip

\begin{matrix} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{matrix} x_{1} & y_{1} & z_{1} & x_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} & x_{2} \\ - & - + & - + & + \end{matrix} \\ = \frac{1}{2} \cdot | (x_{1} y_{2} \hat{k} + y_{1} z_{2} \hat{i} + z_{1} x_{2} \hat{j} - (x_{2} y_{1} \hat{k} + y_{2} z_{1} \hat{i} + z_{2} x_{1} \hat{j})) | \\ = \frac{1}{2} \cdot | ((y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}) \hat{i} + (z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}) \hat{j} + (x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}) \hat{k}) | \\ = \frac{1}{2} \sqrt{(y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1})^{2} + (z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1})^{2} + (x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1})^{2}} \end{matrix}

misalkan vektor A (x1,y1,z1), B (x2,y2,z2) dan C(x3,y3,z3) dengan sudut lancip

misalkan AB dan AC

A B = B - A = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1}) = (x_{4}, y_{4}, z_{4})

A C = C - A = (x_{3} - x_{1}, y_{3} - y_{1}, z_{3} - z_{1}) = (x_{5}, y_{5}, z_{5})

\begin{matrix} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{matrix} x_{4} & y_{4} & z_{4} & x_{4} \\ x_{5} & y_{5} & z_{5} & x_{5} \\ - & - + & - + & + \end{matrix} \\ = \frac{1}{2} \cdot | (x_{4} y_{5} \hat{k} + y_{4} z_{5} \hat{i} + z_{4} x_{5} \hat{j} - (x_{5} y_{4} \hat{k} + y_{5} z_{4} \hat{i} + z_{5} x_{4} \hat{j})) | \\ = \frac{1}{2} \cdot | ((y_{4} z_{5} - y_{5} z_{4}) \hat{i} + (z_{4} x_{5} - z_{5} x_{4}) \hat{j} + (x_{4} y_{5} - x_{5} y_{4}) \hat{k}) | \\ = \frac{1}{2} \sqrt{(y_{4} z_{5} - y_{5} z_{4})^{2} + (z_{4} x_{5} - z_{5} x_{4})^{2} + (x_{4} y_{5} - x_{5} y_{4})^{2}} \end{matrix}

Luas jajar genjang

misalkan vektor A (x1,y1,z1) dan B (x2,y2,z2) dengan sudut lancip

\begin{matrix} L = \begin{matrix} x_{1} & y_{1} & z_{1} & x_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} & x_{2} \\ - & - + & - + & + \end{matrix} \\ = | (x_{1} y_{2} \hat{k} + y_{1} z_{2} \hat{i} + z_{1} x_{2} \hat{j} - (x_{2} y_{1} \hat{k} + y_{2} z_{1} \hat{i} + z_{2} x_{1} \hat{j})) | \\ = | ((y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \hat{i} + (z_{1} x_{2} - y_{2} z_{1}) \hat{j} + (x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}) \hat{k}) | \\ = \sqrt{(y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2})^{2} + (z_{1} x_{2} - y_{2} z_{1})^{2} + (x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1})^{2}} \end{matrix}

misalkan vektor A (x1,y1,z1), B (x2,y2,z2) dan C(x3,y3,z3) dengan sudut lancip

misalkan AB dan AC

A B = B - A = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1}) = (x_{4}, y_{4}, z_{4})

A C = C - A = (x_{3} - x_{1}, y_{3} - y_{1}, z_{3} - z_{1}) = (x_{5}, y_{5}, z_{5})

\begin{matrix} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{matrix} x_{4} & y_{4} & z_{4} & x_{4} \\ x_{5} & y_{5} & z_{5} & x_{5} \\ - & - + & - + & + \end{matrix} \\ = | (x_{4} y_{5} \hat{k} + y_{4} z_{5} \hat{i} + z_{4} x_{5} \hat{j} - (x_{5} y_{4} \hat{k} + y_{5} z_{4} \hat{i} + z_{5} x_{4} \hat{j})) | \\ = | ((y_{4} z_{5} - y_{5} z_{4}) \hat{i} + (z_{4} x_{5} - z_{5} x_{4}) \hat{j} + (x_{4} y_{5} - x_{5} y_{4}) \hat{k}) | \\ = \sqrt{(y_{4} z_{5} - y_{5} z_{4})^{2} + (z_{4} x_{5} - z_{5} x_{4})^{2} + (x_{4} y_{5} - x_{5} y_{4})^{2}} \end{matrix}

contoh

Titik $\vec{a} = - 3 \vec{i} - 2 \vec{j} + 4 \vec{k}$ dan $\vec{b} = 6 \vec{i} + 6 \vec{j} + \vec{k}$ . tentukan:

$\vec{a} + \vec{b}$
$\vec{a} - \vec{b}$
$\vec{a} \cdot \vec{b}$
$\vec{a} \times \vec{b}$
panjang vektor $\vec{a} dan \vec{b}$
vektor satuan pada vektor $\hat{b}$
panjang proyeksi vektor $\vec{a}$ pada vektor $\vec{b}$
proyeksi vektor $\vec{a}$ pada vektor $\vec{b}$

Jawaban

$\begin{matrix} * \vec{c} & = \vec{a} + \vec{b} \\ = (- 3, - 2, 4) + (6, 6, 1) \\ = (- 3 + 6, - 2 + 6, 4 + 1) \\ = (3, 4, 5) \\ * \vec{c} & = \vec{a} - \vec{b} \\ = (- 3, - 2, 4) - (6, 6, 1) \\ = (- 3 - 6, - 2 - 6, 4 - 1) \\ = (- 9, - 8, 3) \\ * \vec{a} \cdot \vec{b} \\ = (- 3, - 2, 4) \cdot (6, 6, 1) \\ = (- 3 \cdot 6) + (- 2 \cdot 6) + (4 \cdot 1) \\ = - 18 - 12 + 4 \\ = - 26 \\ * \vec{a} \times \vec{b} \\ \begin{matrix} i & j & k & i & j \\ - 3 & - 2 & 4 & - 3 & - 2 \\ 6 & 6 & 1 & 6 & 6 \\ - & - & - + & + & + \end{matrix} \\ = (- 3 \cdot 6) k + (- 2 \cdot 1) i + (4 \cdot 6) j - (- 2 \cdot 6) k - (4 \cdot 6) i - (- 3 \cdot 1) j \\ = - 18 k - 2 i + 24 j + 12 k - 24 i + 3 j \\ = - 26 i + 27 j - 6 k \\ * | \vec{c} | & = \sqrt{(6 - (- 3))^{2} + (6 - (- 2))^{2} + (1 - 4)^{2}} \\ = \sqrt{9^{2} + 8^{2} + (- 3)^{2}} \\ = \sqrt{81 + 64 + 9} \\ = \sqrt{145} \\ * \hat{b} & = \frac{\vec{b}}{| \vec{b} |} \\ = \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{6^{2} + 6^{2} + 1^{2}}} \\ = \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{36 + 36 + 1}} \\ = \frac{(6, 6, 1)}{\sqrt{73}} \\ * | \vec{c} | & = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |} \\ = \frac{- 26}{\sqrt{73}} \\ * \vec{c} & = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |^{2}} \cdot \vec{b} \\ = \frac{- 26}{(\sqrt{73})^{2}} (6, 6, 1) \\ = - \frac{26}{73} (6, 6, 1) \end{matrix}$

Titik $\vec{a} = - 3 \vec{i} + 2 \vec{j} - 7 \vec{k}$ dan $\vec{b} = x \vec{i} + 5 \vec{j} + \vec{k}$ . tentukan:

nilai a jika vektor $\vec{a}$ tegak lurus terhadap vektor $\vec{b}$
nilai $\vec{a} \times \vec{b}$

Jawaban

$\begin{matrix} * \vec{a} \cdot \vec{b} & = 0 \\ (- 3, 2, - 7) \cdot (x, 5, 1) & = 0 \\ (- 3 \cdot x) + (2 \cdot 5) + (- 7 \cdot 1) & = 0 \\ - 3 x + 10 - 7 & = 0 \\ - 3 x & = - 3 \\ x & = 1 \\ * \vec{a} \times \vec{b} \\ \begin{matrix} i & j & k & i & j \\ - 3 & 2 & - 7 & - 3 & 2 \\ 1 & 5 & 1 & 1 & 5 \\ - & - & - + & + & + \end{matrix} \\ = (- 3 \cdot 5) k + (2 \cdot 1) i + (- 7 \cdot 1) j - (2 \cdot 1) k - (- 7 \cdot 5) i - (- 3 \cdot 1) j \\ = - 15 k + 2 i - 7 j - 2 k + 35 i + 3 j \\ = 37 i + 10 j - 17 k \end{matrix}$

Titik $\vec{a} = - 3 \vec{i} + 2 \vec{j} - 7 \vec{k}$ dan $\vec{b} = x \vec{i} + 5 \vec{j} + \vec{k}$ . tentukan jumlah nilai x jika vektor $\vec{w}$ tegak lurus terhadap vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ dan panjang vektor $\vec{w}$ adalah 2!

Jawaban

$\begin{matrix} * cara 1 \\ \vec{a} \cdot \vec{b} & = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | c o s α \\ (- 3, 2, - 7) \cdot (x, 5, 1) & = \sqrt{(- 3)^{2} + 2^{2} + (- 7)^{2}} \cdot \sqrt{x^{2} + 5^{2} + 1^{2}} c o s 18 0^{\circ} \\ (- 3 \cdot x) + (2 \cdot 5) + (- 7 \cdot 1) & = \sqrt{62} \sqrt{x^{2} + 26} (- 1) \\ - 3 x + 10 - 7 & = - \sqrt{62 (x^{2} + 26)} \\ - 3 x + 3 & = - \sqrt{62 (x^{2} + 26)} \\ (- 3 x + 3)^{2} & = 62 x^{2} + 1.612 \\ 9 x^{2} - 18 x + 9 & = 62 x^{2} + 1.612 \\ 53 x^{2} + 18 x + 1.603 & = 0 \\ x_{1} + x_{2} & = - \frac{18}{53} \\ * cara 2 \\ misalkan \vec{w} = (a, b, c) \\ \vec{a} \cdot \vec{w} & = 0 \\ (- 3, 2, - 7) \cdot (a, b, c) & = 0 \\ (- 3 \cdot a) + (2 \cdot b) + (- 7 \cdot c) & = 0 \\ - 3 a + 2 b - 7 c & = 0 (1) \\ \vec{b} \cdot \vec{w} & = 0 \\ (x, 5, 1) \cdot (a, b, c) & = 0 \\ (x \cdot a) + (5 \cdot b) + (1 \cdot c) & = 0 \\ x a + 5 b + c & = 0 (2) \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} & = 2^{2} \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} & = 4 \\ eliminasi persamaan 1 dan 2 \\ (- 3 + 7 x) a + 37 b & = 0 \\ b & = \frac{3 a - 7 x a}{37} \\ c & = - x a - 5 b \\ = - x a - 5 (\frac{3 a - 7 x a}{37}) \\ = \frac{- 37 x a - 15 a + 35 x a}{37} \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} & = 4 \\ a^{2} + (\frac{3 a - 7 x a}{37})^{2} + (\frac{- 37 x a - 15 a + 35 x a}{37})^{2} & = 4 \\ a^{2} + \frac{(3 a - 7 x a)^{2}}{3 7^{2}} + \frac{(- 2 x a - 15 a)^{2}}{3 7^{2}} & = 4 (3 7^{2}) \\ 3 7^{2} a^{2} + 9 a^{2} - 42 x a^{2} + 49 x^{2} a^{2} + (- 2)^{2} x^{2} a^{2} + 60 x a^{2} - 1 5^{2} a^{2} & = 4 (3 7^{2}) \\ 1.369 a^{2} + 9 a^{2} - 42 x a^{2} + 49 x^{2} a^{2} + 4 x^{2} a^{2} + 60 x a^{2} - 225 a^{2} & = 5.476 \\ 53 a^{2} x^{2} + 18 a^{2} x + 1.153 a^{2} - 5.476 & = 0 \\ x_{1} + x_{2} & = - \frac{18 a^{2}}{53 a^{2}} = - \frac{18}{53} \end{matrix}$

Diketahui segitiga ABC dengan titik A (1,5,1), B (3,4,1) dan C (2,2,1) maka berapa besar sudut ABC?

Jawaban

$\begin{matrix} * cara 1 \\ A B & = \sqrt{(1 - 3)^{2} + (5 - 4)^{2} + (1 - 1)^{2}} \\ = \sqrt{4 + 1 + 0} \\ = \sqrt{5} \\ A C & = \sqrt{(1 - 2)^{2} + (5 - 2)^{2} + (1 - 1)^{2}} \\ = \sqrt{1 + 9 + 0} \\ = \sqrt{10} \\ B C & = \sqrt{(3 - 2)^{2} + (4 - 2)^{2} + (1 - 1)^{2}} \\ = \sqrt{1 + 4 + 0} \\ = \sqrt{5} \\ A C^{2} & = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot c o s α \\ (\sqrt{10})^{2} & = (\sqrt{5})^{2} + (\sqrt{5})^{2} - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot c o s α \\ 10 & = 5 + 5 - 10 \cos α \\ 10 & = 10 - 10 \cos α \\ 10 \cos α & = 0 \\ c o s α & = 0 \\ α & = 9 0^{\circ} \\ * cara 2 \\ \vec{B A} & = (1 - 3, 5 - 4, 1 - 1) \\ = (- 2, 1, 0) \\ | \vec{B A} | & = \sqrt{(- 2)^{2} + 1^{2} + 0^{2}} \\ = \sqrt{4 + 1 + 0} \\ = \sqrt{5} \\ \vec{B C} & = (2 - 3, 2 - 4, 1 - 1) \\ = (- 1, - 2, 0) \\ | \vec{B C} | & = \sqrt{(- 1)^{2} + (- 2)^{2} + 0^{2}} \\ = \sqrt{1 + 4 + 0} \\ = \sqrt{5} \\ c o s α & = \frac{\vec{B A} \cdot \vec{B C}}{| \vec{B A} | \cdot | \vec{B C} |} \\ = \frac{- 2 (- 1) + 1 (- 2) + 0 (0)}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} \\ = \frac{2 - 2 + 0}{5} \\ = \frac{0}{5} \\ = 0 \\ α & = 9 0^{\circ} \end{matrix}$

Berapa luas segitiga titik A (3,1,2), B (4,3,0) dan C (1,2,5)?

Jawaban

$\begin{matrix} \vec{A B} & = \vec{B} - \vec{A} = (4, 3, 0) - (3, 1, 2) = (1, 2, - 2) \\ \vec{B C} & = \vec{C} - \vec{B} = (1, 2, 5) - (4, 3, 0) = (- 3, - 1, 5) \\ \vec{A C} & = \vec{C} - \vec{A} = (1, 2, 5) - (3, 1, 2) = (- 2, 1, 3) \\ * cara 1 \\ A B dan B C \\ L & = \frac{1}{2} \cdot \begin{matrix} 1 & 2 & - 2 & 1 \\ - 3 & - 1 & 5 & - 3 \\ - & - + & - + & + \end{matrix} \\ = \frac{1}{2} \cdot | (1 (- 1) \hat{k} + 2 (5) \hat{i} + (- 2) (- 3) \hat{j} - ((- 3) (2) \hat{k} + (- 1) (- 2) \hat{i} + (5) 1 \hat{j})) | \\ = \frac{1}{2} \cdot | (- \hat{k} + 10 \hat{i} + 6 \hat{j} - (- 6 \hat{k} + 2 \hat{i} + 5 \hat{j})) | \\ = \frac{1}{2} \cdot | (8 \hat{i} + \hat{j} + 5 \hat{k}) | \\ = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8^{2} + 1^{2} + 5^{2}} \\ = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{64 + 1 + 25} \\ = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{90} \\ = \frac{3}{2} \sqrt{10} \\ * cara 2 \\ A B dan A C \\ L & = \frac{1}{2} \cdot \begin{matrix} 1 & 2 & - 2 & 1 \\ - 2 & 1 & 3 & - 2 \\ - & - + & - + & + \end{matrix} \\ = \frac{1}{2} \cdot | (1 (1) \hat{k} + 2 (3) \hat{i} + (- 2) (- 2) \hat{j} - ((- 2) (2) \hat{k} + 1 (- 2) \hat{i} + (3) 1 \hat{j})) | \\ = \frac{1}{2} \cdot | (\hat{k} + 6 \hat{i} + 4 \hat{j} - (- 4 \hat{k} - 2 \hat{i} + 3 \hat{j})) | \\ = \frac{1}{2} \cdot | (8 \hat{i} + \hat{j} + 5 \hat{k}) | \\ = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8^{2} + 1^{2} + 5^{2}} \\ = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{64 + 1 + 25} \\ = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{90} \\ = \frac{3}{2} \sqrt{10} \\ * cara 3 \\ B C dan A C \\ L & = \frac{1}{2} \cdot \begin{matrix} - 3 & - 1 & 5 & - 3 \\ - 2 & 1 & 3 & - 2 \\ - & - + & - + & + \end{matrix} \\ = \frac{1}{2} \cdot | ((- 3) 1 \hat{k} + (- 1) (3) \hat{i} + (5) (- 2) \hat{j} - ((- 2) (- 1) \hat{k} + 1 (5) \hat{i} + (3) (- 3) \hat{j})) | \\ = \frac{1}{2} \cdot | (- 3 \hat{k} - 3 \hat{i} - 10 \hat{j} - (2 \hat{k} + 5 \hat{i} - 9 \hat{j})) | \\ = \frac{1}{2} \cdot | (- 8 \hat{i} - \hat{j} - 5 \hat{k}) | \\ = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(- 8)^{2} + (- 1)^{2} + (- 5)^{2}} \\ = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{64 + 1 + 25} \\ = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{90} \\ = \frac{3}{2} \sqrt{10} \end{matrix}$

Buktikan bahwa titik A (-1,3,6), B (1,1,5) dan C (3,-1,4) adalah titik segaris (kolinear)!

Jawaban

$\begin{matrix} * \vec{A B} & = k \vec{B C} \\ (b - a) & = k (c - b) \\ ((1, 1, 5) - (- 1, 3, 6)) & = k ((3, - 1, 4) - (1, 1, 5)) \\ (2, - 2, - 1) & = k (2, - 2, - 1) \\ k & = 1 \\ * \vec{B C} & = k \vec{A C} \\ (c - b) & = k (c - a) \\ ((3, - 1, 4) - (1, 1, 5)) & = k ((3, - 1, 4) - (- 1, 3, 6)) \\ (2, - 2, - 1) & = k (4, - 4, - 2) \\ k & = \frac{1}{2} \\ * \vec{A C} & = k \vec{A B} \\ (c - b) & = k (c - a) \\ ((3, - 1, 4) - (- 1, 3, 6)) & = k ((1, 1, 5) - (- 1, 3, 6)) \\ (4, - 4, - 2) & = k (2, - 2, - 1) \\ k & = 2 \\ terbukti. ketiga titik tersebut merupakan kolinear. \end{matrix}$

Diketahui vektor OA = -i+3j+k dan OB = -i-2j+6k. Titik P membagi $\vec{A B}$ di dalam dengan perbandingan 2:3 maka tentukan panjang vektor:

$\vec{P A}$
$\vec{P B}$

Jawaban

$\begin{matrix} karena titik P berada di dalam maka \vec{A P} : \vec{P B} = 2 : 3 \\ \vec{O} P & = (\frac{3 (- 1) + 2 (- 1)}{5}, \frac{3 (3) + 2 (- 2)}{5}, \frac{3 (1) + 2 (6)}{5}) \\ = (\frac{- 3 - 2}{5}, \frac{9 - 4}{5}, \frac{3 + 12}{5}) \\ = (- 1, 1, 3) \\ * \vec{P A} & = \vec{O A} - \vec{O P} \\ = (- 1, 3, 1) - (- 1, 1, 3) \\ = (0, 2, - 2) \\ jadi \vec{P A} adalah 2 j + 2 k \\ * \vec{P B} & = \vec{O B} - \vec{O P} \\ = (- 1, - 2, 6) - (- 1, 1, 3) \\ = (0, - 3, 3) \\ jadi \vec{P A} adalah - 3 j + 3 k \end{matrix}$

Diketahui vektor OA = 3i-j+5k dan OB = i+j-k. Titik P membagi $\vec{A B}$ di luar dengan perbandingan 1:3 maka tentukan panjang vektor:

$\vec{P A}$
$\vec{P B}$

Jawaban

$\begin{matrix} karena titik P berada di luar maka \vec{P A} : \vec{P B} = 1 : 3 atau \vec{A P} : \vec{P B} = - 1 : 3 \\ \vec{O} P & = (\frac{3 (3) - (1)}{2}, \frac{3 (- 1) - (1)}{2}, \frac{3 (5) - (- 1)}{2}) \\ = (\frac{9 - 1}{2}, \frac{- 3 - 1}{2}, \frac{15 + 1}{2}) \\ = (4, - 2, 8) \\ * \vec{P A} & = \vec{O A} - \vec{O P} \\ = (3, - 1, 5) - (4, - 2, 8) \\ = (- 1, 1, - 3) \\ jadi \vec{P A} adalah - i + j - 3 k \\ * \vec{P B} & = \vec{O B} - \vec{O P} \\ = (3, 1, - 1) - (- 2, - 2, 8) \\ = (5, 3, - 9) \\ jadi \vec{P A} adalah 5 i + 3 j - 9 k \end{matrix}$

Diketahui vektor OA = i+j+2k dan OB = i+2j+3k. Titik P terletak pada garis AB sehingga $| \vec{A P} | = | \vec{O B} |$ maka tentukan:

OA . AP
OA . OP

Jawaban

$\begin{matrix} \vec{O A} = i + j + 2 k, \vec{O B} = i + 2 j + 3 k \\ \vec{A B} & = \vec{O B} - \vec{O A} \\ = (1, 2, 3) - (1, 1, 2) \\ = (0, 1, 1) \\ * * * cara 1 \\ | \vec{A} B | & = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + 1^{2}} \\ = \sqrt{2} \\ | \vec{O} B | & = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}} \\ = \sqrt{14} \\ karena | \vec{A} P | = | \vec{O} B | maka | \vec{A} P | = \sqrt{14} \\ \vec{A} P & = \frac{| \vec{A} P |}{| \vec{A} B |} \cdot \vec{A} B \\ = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} \cdot (0, 1, 1) \\ = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} \cdot (0, 1, 1) \\ = \sqrt{7} (0, 1, 1) \\ = (0, \sqrt{7}, \sqrt{7}) \\ \vec{O} A \cdot \vec{A} P & = (1, 1, 2) \cdot (0, \sqrt{7}, \sqrt{7}) \\ = 0 + \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} \\ = 3 \sqrt{7} \\ * * cara 2 \\ \vec{A} P & = k \cdot \vec{A} B \\ = k (0, 1, 1) \\ = (0, k, k) \\ | \vec{A} P | & = | \vec{O} B | \\ \sqrt{0 + k^{2} + k^{2}} & = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}} \\ \sqrt{2 k^{2}} & = \sqrt{14} \\ k & = \sqrt{7} \\ \vec{A} P & = (0, \sqrt{7}, \sqrt{7}) \\ \vec{O} A \cdot \vec{A} P & = (1, 1, 2) \cdot (0, \sqrt{7}, \sqrt{7}) \\ = 0 + \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} \\ = 3 \sqrt{7} \\ * * cara 3 \\ | \vec{A} B | & = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + 1^{2}} \\ = \sqrt{2} \\ | \vec{O} B | & = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}} \\ = \sqrt{14} \\ \vec{O} A \cdot \vec{A} B & = | \vec{O} A | \cdot | \vec{A} B | c o s α \\ c o s α & = \frac{\vec{O} A \cdot \vec{A} B}{| \vec{O} A | \cdot | \vec{A} B |} \\ \vec{O} A \cdot \vec{A} P & = | \vec{O} A | \cdot | \vec{A} P | c o s α \\ = | \vec{O} A | \cdot | \vec{A} P | (\frac{\vec{O} A \cdot \vec{A} B}{| \vec{O} A | \cdot | \vec{A} B |}) \\ = | \vec{A} P | (\frac{\vec{O} A \cdot \vec{A} B}{| \vec{A} B |}) \\ karena | \vec{A} P | = | \vec{O} B | \\ = | \vec{O} B | (\frac{\vec{O} A \cdot \vec{A} B}{| \vec{A} B |}) \\ = \sqrt{14} (\frac{(1, 1, 2) \cdot (0, 1, 1)}{\sqrt{2}}) \\ = \sqrt{7} (0 + 1 + 2) \\ = 3 \sqrt{7} \\ * \vec{A} P & = k \cdot \vec{A} B \\ = k (0, 1, 1) \\ = (0, k, k) \\ | \vec{A} P | & = | \vec{O} B | \\ \sqrt{0 + k^{2} + k^{2}} & = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}} \\ \sqrt{2 k^{2}} & = \sqrt{14} \\ k & = \sqrt{7} \\ \vec{A} P & = (0, \sqrt{7}, \sqrt{7}) \\ \vec{O} P & = \vec{O} A + \vec{A} P \\ = (1, 1, 2) + (0, \sqrt{7}, \sqrt{7}) \\ = (1, 1 + \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}) \\ \vec{O} A \cdot \vec{O} P & = (1, 1, 2) (1, 1 + \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7}) \\ = 1 + 1 + \sqrt{7} + 2 (2 + \sqrt{7}) \\ = 6 + 3 \sqrt{7} \end{matrix}$

Soal-Soal Matematika/Vektor

Daftar isi

Vektor

Posisi vektor

Panjang vektor

Vektor satuan

Operasi aljabar pada vektor

Sifat operasi aljabar pada vektor

Hubungan vektor dengan vektor lain

Sudut dua vektor

Panjang proyeksi dan proyeksi vektor

Metode

Titik segaris (kolinear)

Perbandingan

Luas

Menu navigasi

Soal-Soal Matematika/Vektor

Vektor

Posisi vektor

Panjang vektor

Vektor satuan

Operasi aljabar pada vektor

Sifat operasi aljabar pada vektor

Hubungan vektor dengan vektor lain

Sudut dua vektor

Panjang proyeksi dan proyeksi vektor

Metode

Titik segaris (kolinear)

Perbandingan

Luas

Menu navigasi

Pencarian