Soal-Soal Matematika/Sistem persamaan dan pertidaksamaan

Sistem persamaan

Mutlak

rumus: $|f(x)|=\{\begin{array}{cc}f(x),& \text{jika }f(x)\ge 0,\\ -f(x),& \text{jika }f(x)<0.\end{array}$

• |f(x)|=b maka menjadi f(x)=b dan f(b)=-b
• |f(x)|=g(x) maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x)
• |f(x)|=|g(x)| maka menjadi f(x)=g(x) dan f(b)=-g(x)

sifat

1. |a b| = |a| |b|
2. |a/b| = |a|/|b|, b≠0
3. |x| < b -> -b<x<b
4. |x| ≤ b -> -b≤x≤b
5. |x| > b -> x<-b atau x>b
6. |x| ≥ b -> x≤-b atau x≥b
7. |f(x)| < b -> -b<f(x)<b
8. |f(x)| ≤ b -> -b≤f(x)≤b
9. |f(x)| > b -> f(x)<-b atau f(x)>b
10. |f(x)| ≥ b -> f(x)≤-b atau f(x)≥b
11. |f(x)| < |g(x)| -> (f(x))² < (g(x))²
12. |f(x)| > |g(x)| -> (f(x))² > (g(x))²

contoh

selesaikan persamaan multak sebagai berikut:

• |x²+6x| = |7x+20|
• 3|x-4|+5|7-x| = 31
• |3x-4|x-1|| = 2
• |3x-1|²-7|3x-1| = 8
• |x-5|²+|x-4| = 7
• x²+3|x| = 4
• x|x-6| = 8

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\ast |x^2+6x|& =|7x+20|\\ |x^2+6x|& =|7x+20|\\ (x^2+6x{)}^2& =(7x+20{)}^2\\ (x^2+6x{)}^2-(7x+20{)}^2& =0\\ (x^2+6x+7x+20)(x^2+6x-(7x+20))& =0\\ (x^2+13x+20)(x^2-x-20)& =0\\ \text{untuk }{x}^2+13x+20& =0\\ x^2+13x+20& =0\\ x& =\frac{-13\pm \sqrt{13^2-4(1)(20)}}{2(1)}\\ & =\frac{-13\pm \sqrt{169-80}}{2}\\ & =\frac{-13\pm \sqrt{89}}{2}\\ x_1=\frac{-13+\sqrt{89}}{2}& \text{ atau }{x}_2=\frac{-13-\sqrt{89}}{2}\\ \text{untuk }{x}^2-x-20& =0\\ x^2-x-20& =0\\ (x-5)(x+4)& =0\\ x_3=5& \text{ atau }{x}_4=-4\\ \ast 3|x-4|+5|7-x|& =31\\ \text{untuk }|x-4|\text{ sebagai berikut: }\\ x-4\text{ jika }x-4& \ge 0\\ x& \ge 4\\ -(x-4)\text{ jika }x-4& <0\\ x& <4\\ \text{untuk }|7-x|\text{ sebagai berikut: }\\ 7-x\text{ jika }7-x& \ge 0\\ x& \le 7\\ -(7-x)\text{ jika }7-x& <0\\ x& >7\\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)}\\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)}\\ 3|x-4|+5|7-x|& =31\\ 3(-x+4)+5(7-x)& =31\\ -3x+12+35-5x& =31\\ -8x& =-16\\ x& =2\\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)}\\ 3|x-4|+5|7-x|& =31\\ 3(x-4)+5(7-x)& =31\\ 3x-12+35-5x& =31\\ -2x& =8\\ x& =-4\text{ (TM) }\\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)}\\ 3|x-4|+5|7-x|& =31\\ 3(x-4)+5(-7+x)& =31\\ 3x-12-35+5x& =31\\ 8x& =78\\ x& =\frac{78}{8}\\ x& =\frac{39}{4}\\ \ast |3x-4|x-1||& =2\\ |3x-4|x-1||& =2\\ (3x-4|x-1|{)}^2& =2^2\\ (3x-4|x-1|{)}^2-2^2& =0\\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2)& =0\\ \text{untuk }3x-4|x-1|-2& =0\\ 3x-4|x-1|-2& =0\\ -4|x-1|& =2-3x\\ (-4(x-1){)}^2& =(2-3x{)}^2\\ (-4(x-1){)}^2-(2-3x{)}^2& =0\\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x))& =0\\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x)& =0\\ x_1=2& \text{ atau }{x}_2=\frac{6}{7}\\ \text{untuk }3x-4|x-1|+2& =0\\ 3x-4|x-1|+2& =0\\ -4|x-1|& =-2-3x\\ (-4(x-1){)}^2& =(-2-3x{)}^2\\ (-4(x-1){)}^2-(-2-3x{)}^2& =0\\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x))& =0\\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x)& =0\\ x_3=6& \text{ atau }{x}_4=\frac{2}{7}\\ \ast |3x-1{|}^2-7|3x-1|& =8\\ |3x-1{|}^2-7|3x-1|& =8\\ \text{misalkan }|3x-1|& =p\\ p^2-7p& =8\\ p^2-7p-8& =0\\ (p-8)(p+1)& =0\\ p=8& \text{ atau }p=-1\\ \text{karena hasil p dalam harga multak selalu positif jadi }p=8\text{ memenuhi syarat }\\ 3x-1& =8\\ 3x& =9\\ x& =3\\ \ast |x-5{|}^2+|x-4|& =7\\ \text{untuk }|x-5|\text{ sebagai berikut: }\\ x-5\text{ jika }x-5& \ge 0\\ x& \ge 5\\ -(x-5)\text{ jika }x-5& <0\\ x& <5\\ \text{untuk }|x-4|\text{ sebagai berikut: }\\ x-4\text{ jika }x-4& \ge 0\\ x& \ge 4\\ -(x-4)\text{ jika }x-4& <0\\ x& <4\\ \text{buatlah grafik daerah arsiran (lihat tabel di bawah ini)}\\ \text{daerah arsiran 1 (kiri)}\\ |x-5{|}^2+|x-4|& =7\\ (-x+5{)}^2+(-x+4)& =7\\ (-x+5{)}^2-x+4-7& =0\\ x^2-10x+25-x+4-7& =0\\ x^2-11x+22& =0\\ x& =\frac{-(-11)\pm \sqrt{121-4(1)(22)}}{2(1)}\\ & =\frac{11\pm \sqrt{33}}{2}\\ x_1=\frac{11+\sqrt{33}}{2}& \text{ (TM) atau }{x}_2=\frac{11-\sqrt{33}}{2}\text{ (TM) }\\ \text{daerah arsiran 2 (tengah)}\\ |x-5{|}^2+|x-4|& =7\\ (-x+5{)}^2+(x-4)& =7\\ x^2-10x+25+x-4-7& =0\\ x^2-9x+14& =0\\ (x-2)(x-7)& =0\\ x_3=2& \text{ (TM) atau }{x}_4=7\text{ (TM) }\\ \text{daerah arsiran 3 (kanan)}\\ |x-5{|}^2+|x-4|& =7\\ (x-5{)}^2+(x-4)& =7\\ x^2-10x+25+x-4-7& =0\\ x^2-9x+14& =0\\ (x-2)(x-7)& =0\\ x_5=2& \text{ (TM) atau }{x}_6=7\\ \ast |3x-4|x-1||& =2\\ |3x-4|x-1||& =2\\ (3x-4|x-1|{)}^2& =2^2\\ (3x-4|x-1|{)}^2-2^2& =0\\ (3x-4|x-1|-2)(3x-4|x-1|+2)& =0\\ \text{untuk }3x-4|x-1|-2& =0\\ 3x-4|x-1|-2& =0\\ -4|x-1|& =2-3x\\ (-4(x-1){)}^2& =(2-3x{)}^2\\ (-4(x-1){)}^2-(2-3x{)}^2& =0\\ (-4(x-1)-(2-3x))(-4(x-1)+(2-3x))& =0\\ (-4x+4-2+3x)(-4x+4+2-3x)& =0\\ x_1=2& \text{ atau }{x}_2=\frac{6}{7}\\ \text{untuk }3x-4|x-1|+2& =0\\ 3x-4|x-1|+2& =0\\ -4|x-1|& =-2-3x\\ (-4(x-1){)}^2& =(-2-3x{)}^2\\ (-4(x-1){)}^2-(-2-3x{)}^2& =0\\ (-4(x-1)-(-2-3x))(-4(x-1)+(-2-3x))& =0\\ (-4x+4+2+3x)(-4x+4-2-3x)& =0\\ x_3=6& \text{ atau }{x}_4=\frac{2}{7}\\ \ast x^2+3|x|& =4\\ x^2+3|x|& =4\\ \text{karena hasil }{x}^2\text{ bernilai positif maka }{x}^2\text{ dapat diganti }|x{|}^2\\ |x{|}^2+3|x|& =4\\ |x{|}^2+3|x|-4& =0\\ (|x|+4)(|x|-1)& =0\\ |x|=-4& \text{ atau }|x|=1\\ \text{karena hasil }|x|\text{ dalam harga multak selalu positif jadi }|x|=1\text{ memenuhi syarat }\\ |x|& =1\\ x^2& =1^2\\ x^2-1^2& =0\\ (x-1)(x+1)& =0\\ x_1=1& \text{ atau }{x}_2=-1\\ \text{atau }\\ x^2+3|x|& =4\\ 3|x|& =4-x^2\\ (3x{)}^2& =(4-x^2{)}^2\\ (3x{)}^2-(4-x^2{)}^2& =0\\ (3x-(4-x^2))(3x+(4-x^2))& =0\\ \text{untuk }3x-(4-x^2)& =0\\ 3x-(4-x^2)& =0\\ x^2+3x-4& =0\\ (x+4)(x-1)& =0\\ x_1=-4& \text{ (TM) atau }{x}_2=1\\ \text{untuk }3x+(4-x^2)& =0\\ 3x+(4-x^2)& =0\\ -x^2+3x+4& =0\\ x^2-3x-4& =0\\ (x-4)(x+1)& =0\\ x_3=4& \text{ (TM) atau }{x}_4=-1\\ \ast x|x-6|& =8\\ x|x-6|& =8\\ |x-6|& =\frac{8}{x}\\ (x-6{)}^2& =(\frac{8}{x}{)}^2\\ (x-6{)}^2-(\frac{8}{x}{)}^2& =0\\ (x-6+\frac{8}{x})(x-6-\frac{8}{x})& =0\\ \text{untuk }x-6+\frac{8}{x}& =0\\ x-6+\frac{8}{x}& =0\\ x^2-6x+8& =0\\ (x-4)(x-2)& =0\\ x_1=4& \text{ atau }{x}_2=2\\ \text{untuk }x-6-\frac{8}{x}& =0\\ x-6-\frac{8}{x}& =0\\ x^2-6x-8& =0\\ x& =\frac{-(-6)\pm \sqrt{36-4(1)(-8)}}{2(1)}\\ & =\frac{6\pm \sqrt{68}}{2}\\ & =\frac{6\pm 2\sqrt{17}}{2}\\ & =3\pm \sqrt{17}\\ x_3=3+\sqrt{17}& \text{ atau }{x}_4=3-\sqrt{17}\text{ (TM) }\end{array}$$

daerah arsiran untuk nomor 2

Daerah Arsiran

	4		7
-x+4		x-4		x-4
7-x		7-x		-7+x

yang memenuhi adalah HP = {2, 39/4}

daerah arsiran untuk nomor 5

Daerah Arsiran

	4		5
-x+5		-x+5		x-5
-x+4		x-4		x-4

yang memenuhi adalah HP = {7}

Akar

rumus: $y=\sqrt{f(x)};f(x)\ge 0$

contoh

selesaikan persamaan akar sebagai berikut:

• $\sqrt{x^2+5}=7-2x$
• $\sqrt{x^2+7}+2x=10$

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\ast \sqrt{x^2+5}& =7-2x\\ x^2+5& =(7-2x{)}^2\\ x^2+5& =4x^2-28x+49\\ 3x^2-28x+44& =0\\ (3x-22)(x-2)& =0\\ x=\frac{22}{3}& \text{ (TM) atau }x=2\\ \ast \sqrt{x^2+7}+2x& =10\\ \sqrt{x^2+7}& =10-2x\\ x^2+7& =(10-2x{)}^2\\ x^2+7& =4x^2-40x+100\\ 3x^2-40x+93& =0\\ (3x-31)(x-3)& =0\\ x=\frac{31}{3}& \text{ (TM) atau }x=3\end{array}$$

Pecahan

rumus: $y=\frac{f(x)}{g(x)};g(x)\ne 0$

contoh

selesaikan persamaan pecahan sebagai berikut:

• $\frac{2x-5}{x+14}=\frac{x-4}{x}$
• $\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5}=\frac{6}{x-11}$

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\ast \frac{2x-5}{x+14}& =\frac{x-4}{x}\\ x(2x-5)& =(x-4)(x+14)\\ 2x^2-5x& =x^2+10x-56\\ x^2-15x+56& =0\\ (x-7)(x-8)& =0\\ x=7& \text{ atau }x=8\\ \ast \frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-5}& =\frac{6}{x-11}\\ \frac{x-5+x+3}{(x+3)(x-5)}& =\frac{6}{x-11}\\ \frac{2x-2}{x^2-2x-15}& =\frac{6}{x-11}\\ \frac{2(x-1)}{x^2-2x-15}& =\frac{6}{x-11}\\ \frac{x-1}{x^2-2x-15}& =\frac{3}{x-11}\\ (x-1)(x-11)& =3(x^2-2x-15)\\ x^2-12x+11& =3x^2-6x-45\\ 2x^2+6x-56& =0\\ x^2+3x-28& =0\\ (x-4)(x+7)& =0\\ x=4& \text{ atau }x=-7\end{array}$$

Sistem pertidaksamaan

Multak

rumus: $|f(x)|\le 0;|f(x)|=\sqrt{f^2(x)}$

harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan

selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut:

• $|2(x^2-6)|\ge |x^2-x|$

Jawaban

$$\begin{array}{c}|2(x^2-6)|\ge |x^2-x|\\ (2(x^2-6){)}^2& \ge (x^2-x{)}^2\\ (2(x^2-6){)}^2-(x^2-x{)}^2& \ge 0\\ (2(x^2-6)+x^2-x)((2(x^2-6)-(x^2-x))& \ge 0\\ (2x^2-12+x^2-x)(2x^2-12-x^2+x)& \ge 0\\ (3x^2-x-12)(x^2+x-12)& \ge 0\\ \text{untuk }3x^2-x-12\\ 3x^2-x-12& \ge 0\\ \text{harga nol }\\ 3x^2-x-12& =0\\ x& =\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4(3)(-12)}}{2(3)}\\ & =\frac{1\pm \sqrt{145}}{6}\\ x=\frac{1-\sqrt{145}}{6}& \text{ atau }x=\frac{1+\sqrt{145}}{6}\\ \text{untuk }{x}^2+x-12\\ x^2+x-12& \ge 0\\ \text{harga nol }\\ x^2+x-12& =0\\ (x+4)(x-3)& =0\\ x=-4& \text{ atau }x=3\\ \text{dari kombinasi perkalian jadi }x\le -4,\frac{1-\sqrt{145}}{6}\le x\le \frac{1+\sqrt{145}}{6}& \text{ atau }x\ge 3\end{array}$$

daerah arsiran untuk nomor satu

• utama (kombinasi perkalian)

Teks takarir

	-4		$\frac{1-\sqrt{145}}{6}$		$\frac{1+\sqrt{145}}{6}$		3
+++		——		+++		———		+++

Akar

rumus: $\sqrt{f(x)}\le 0;f(x)\ge 0$

harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan

selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut:

• $x-\sqrt{6-x}\ge 0$

Jawaban

$$\begin{array}{cc}x-\sqrt{6-x}& \ge 0\\ x& \ge \sqrt{6-x}\\ x^2& \ge 6-x\\ x^2+x-6& \ge 0\\ \text{harga nol }\\ x^2+x-6& =0\\ (x+3)(x-2)& =0\\ x=-3& \text{ atau }x=2\\ \text{jadi }x\le -3& \text{ atau }x\ge 2\\ \text{syarat 1 }\\ 6-x& \ge 0\\ x& \le 6\\ \text{syarat 2 }\\ \text{karena hasil akarnya minimal nol maka }x\ge 0\\ x& \ge \sqrt{6-x}\\ x& \ge 0\\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah }2\le x\le 6\end{array}$$

daerah arsiran untuk nomor satu

• utama

Teks takarir

	-3		2
+++		——		+++

• syarat 1

Teks takarir

	6
——		+++

• syarat 2

Teks takarir

	0
——		+++

• total irisan

Teks takarir

	-3		0		2		6
Ya						Ya		Ya
Ya		Ya		Ya		Ya
				Ya		Ya		Ya

Pecahan

rumus: $\frac{f(x)}{g(x)}\le 0;g(x)\ne 0$

harus dibuat harga nol, pembuat nol serta irisan untuk selesaikan pertidaksamaan

selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut:

• $\frac{x+5}{x}\ge \frac{x+10}{x-5}$

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\frac{x+5}{x}& \ge \frac{x+10}{x-5}\\ \frac{x+5}{x}-\frac{x-10}{x-5}& \ge 0\\ \frac{(x+5)(x-5)-x(x+10)}{x(x-5)}& \ge 0\\ \frac{x^2-25-x^2-10x}{x(x-5)}& \ge 0\\ \frac{-25-10x}{x(x-5)}& \ge 0\\ \text{pembuat nol pembilang }\\ -25-10x& =0\\ x& =-2,5\\ \text{pembuat nol penyebut }\\ x(x-5)& =0\\ x=0& \text{ atau }x=5\\ \text{syarat }\\ x(x-5)& \ne 0\\ x\ne 0& \text{ atau }x\ne 5\\ \text{jadi hasil pertidaksamaan adalah }x\le -2,5\text{ atau }0<x<5\end{array}$$

daerah arsiran untuk nomor satu

• hasil pembanding pecahan

Teks takarir

	-2,5		(0)		(5)
+/+		-/+		-/-		-/+
+		-		+		-