Soal-Soal Matematika/Polinomial

Rumus

• $f(x)=P(x)\cdot H(x)+s(x)$
• $\text{ Yang dibagi (YD) = Pembagi (P) x Hasil bagi (HB) + Sisa (S) }$

Untuk mengetahui hasil bagi dan sisa yakni:

• Metode pembagian bersusun
• Metode horner
• Koefisien tak tentu

1. Berapa hasil bagi dan sisa dari $x^2+3x-6$ dibagi x - 4!

• Metode pembagian bersusun

Jawaban

$$\begin{array}{cc}& x+7\\ & x-4|x^2+3x-6\\ & x^2-4x\\ & 7x-6\\ & 7x-28\\ & 22\\ \end{array}$$

Jadi hasil bagi adalah x + 7 dan sisa 22

• Metode horner

Jawaban

$$\begin{array}{cccccc}& 4& |& 1& 3& -6\\ & & 0& 4& 28\\ & & 1& 7& 22\\ \end{array}$$

Jadi hasil bagi adalah x + 7 dan sisa 22

• Koefisien tak tentu

Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka

H(x) berderajat 2 – 1 = 1

S(x) berderajat 1 – 1 = 0

Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = c

Jawaban

$$\begin{array}{ccc}& x^2+3x-6& =(x-4)(ax+b)+c\\ & x^2+3x-6& =a{x}^2-4ax+bx-4b+c\\ & x^2+3x-6& =a{x}^2+(-4a+b)x-(4b-c)\\ & a& =1\\ & -4a+b& =3\\ & -4(1)+b& =3\\ & -4+b& =3\\ & b& =7\\ & 6& =4b-c\\ & 6& =4(7)-c\\ & 6& =28-c\\ & c& =-22\\ \end{array}$$

Jadi hasil bagi adalah x + 7 dan sisa 22

Jika hasil bagi adalah bilangan pecahan maka ada dua jenis yang ditentukan sebagai berikut:

I. posisi suku banyak tidak berubah maka hasil bagi harus dibagi konstanta dari faktor hasilnya. Contoh

Berapa hasil dan sisa dari F(x): $2x^3+19x^2+33x-26$ dibagi dengan P(x): $2x^2+5x-3$?

Pilihan A

misalkan P: $2x^2+5x-3=(x+3)(2x-1)$ maka:

P1: $x+3=0->x=-3$

P2: $2x-1=0->x=\frac{1}{2}$

-3	2	19	33	-26
	0	-6	-39	18
1/2	2	13	-6	-8 (S1)
	0	1	7
	2	14	1 (S2)

H(x) = $2x+14$ harus bagi 1/2 menjadi $x+7$

S(x) = P1.S2 + S1 = $(x+3)\cdot 1+(-8)=x-5$

Pilihan B

misalkan P: $2x^2+5x-3=(x+3)(2x-1)$ maka:

P1: $2x-1=0->x=\frac{1}{2}$

P2: $x+3=0->x=-3$

1/2	2	19	33	-26
	0	1	10	43/2
-3	2	20	43	-9/2 (S1)
	0	-6	-42
	2	14	1 (S2)

H(x) = $2x+14$ harus bagi 1/2 menjadi $x+7$

S(x) = P1 S2 + S1 = $(x-\frac{1}{2})\cdot 1+(-\frac{9}{2})=x-\frac{10}{2}=x-5$

II. posisi suku banyak dibagi konstanta dari variabel berpangkat tinggi maka sisa harus dikali konstanta dari faktor hasilnya. Contoh

Berapa hasil dan sisa dari F(x): $2x^3+19x^2+33x-26$ dibagi dengan P(x): $2x^2+5x-3$?

Pilihan A

misalkan P: $2x^2+5x-3=(x+3)(2x-1)$ maka:

P1: $x+3=0->x=-3$

P2: $2x-1=0->x=\frac{1}{2}$

$2x^3+19x^2+33x-26$ dibagi 1/2 menjadi $x^3+\frac{19}{2}{x}^2+\frac{33}{2}x-13$

-3	1	19/2	33/2	-13
	0	-3	-39/2	9
1/2	1	13/2	-3	-4 (S1)
	0	1/2	7/2
	1	7	1/2 (S2)

H(x) = $x+7$

S(x) = P1.S2 + S1 = $(x+3)\cdot \frac{1}{2}+(-4)=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}-4=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$ harus kali 2 menjadi $x-5$

Pilihan B

misalkan P: $2x^2+5x-3=(x+3)(2x-1)$ maka:

P1: $2x-1=0->x=\frac{1}{2}$

P2: $x+3=0->x=-3$

$2x^3+19x^2+33x-26$ dibagi 1/2 menjadi $x^3+\frac{19}{2}{x}^2+\frac{33}{2}x-13$

1/2	1	19/2	33/2	-13
	0	1/2	5	43/4
-3	1	10	43/2	-9/4 (S1)
	0	-3	-21
	1	7	1/2 (S2)

H(x) = $x+7$

S(x) = P1.S2 + S1 = $(x-\frac{1}{2})\cdot \frac{1}{2}+(-\frac{9}{4})=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}-\frac{9}{4}=\frac{1}{2}x-\frac{10}{4}=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$ harus kali 2 menjadi $x-5$

Teorema

Teorema terdiri dari dua yakni teorema sisa dan teorema faktor.

Teorema sisa

Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k).

Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (ax – b) maka sisanya adalah F(b/a).

Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – a)(x - b) maka sisanya adalah $\frac{F(a)-F(b)}{a-b}x+\frac{aF(b)-bF(a)}{a-b}$.

1. Berapa sisa dari $x^2+3x-6$ dibagi x - 4!

f(4) = 4² + 3(4) - 6 = 16 + 12 - 6 = 22

2. Suku banyak f(x) dibagi x−1 sisa 2, dibagi x−2 sisa 7. Suku banyak g(x) dibagi x-1 sisa 10, dibagi x-2 sisa 2. Jika h(x) = f(x) ⋅ g(x) maka berapa sisa pembagian h(x) oleh x²-3x+2?

f(x) dibagi (x-1) sisa 2, maka:

$f(x)=H(x)\cdot (x-1)+2$

f(1) = 2

f(x) dibagi (x-2) sisa 7, maka:

$f(x)=H(x)\cdot (x-2)+7$

f(2) = 7

g(x) dibagi (x-1) sisa 10, maka:

$f(x)=H(x)\cdot (x-1)+10$

g(1) = 10

g(x) dibagi (x-2) sisa 2, maka:

$f(x)=H(x)\cdot (x-2)+2$

g(2) = 2

Sehingga, akan ditentukan persamaan dari fungsi h(x) untuk menentukan nilai p dan q sebagai berikut:

$h(x)=f(x)\cdot (x)$

$h(x)=H(x)\cdot x^2-3x+2+px+q$

$f(x)\cdot g(x)=H(x)\cdot x^2-3x+2+px+q$

$f(x)\cdot g(x)=H(x)\cdot (x-1)(x-2)+px+q$

Dengan fungsi di atas, maka berlaku:

untuk x = 1, maka:

2 ▪︎ 10 = 0 + p + q

p + q = 20 .... (1)

untuk x = 2, maka:

7 ▪︎ 2 = 0 + 2p + q

2p + q = 14 .... (2) ​​​​​​​

Dari persamaan 1 dan 2 adalah p = -6 dan q = 26.

Jadi sisanya adalah -6x+26.

3. Jika f(x) dibagi oleh x²-2x dan x ²−3x masing-masing mempunyai sisa 2x+1 dan 5x+2, maka berapa sisanya jika f(x) dibagi x²−5x+6?

$f(x)=P(x)\cdot H(x)+s(x)$

$f(x)=x^2-5x+6+ax+b$

$f(x)=(x-2)(x-3)+ax+b$

$f(x)=P(x)\cdot (x^2-2x)+2x+1$

$f(x)=P(x)\cdot x(x-2)+2x+1$

Bila x = 0 maka

$f(x)=P(x)\cdot x(x-2)+2x+1$

$f(0)=P(x)\cdot 0(-2)+1$

f(0) = 1

Bila x = 2 maka

$f(x)=P(x)\cdot x(x-2)+2x+1$

$f(2)=P(x)\cdot 2(0)+5$

f(2) = 5

$f(x)=P(x)\cdot (x^2-3x)+5x+2$

$f(x)=P(x)\cdot x(x-3)+5x+2$

Bila x = 0 maka

$f(x)=P(x)\cdot x(x-3)+5x+2$

$f(0)=P(x)\cdot 0(-3)+2$

f(0) = 2

Bila x = 3 maka

$f(x)=P(x)\cdot x(x-3)+5x+2$

$f(3)=P(x)\cdot 3(0)+17$

f(3) = 17

$f(x)=(x-2)(x-3)+ax+b$

$f(3)=(3-2)(3-3)+3a+b$

$f(3)=1(0)+3a+b$

$17=1(0)+3a+b$

$3a+b=17$ .... (1)

$f(x)=(x-2)(x-3)+ax+b$

$f(2)=(2-2)(2-3)+2a+b$

$f(2)=0(-1)+2a+b$

$5=0(-1)+2a+b$

$2a+b=5$ .... (2)

Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 12 dan b = -19.

Jadi sisanya adalah 12x-19.

4. Diketahui suku banyak f(x+1) dibagi x²+2x mempunyai sisa 2x-5 dan f(x-1) dibagi x²+x mempunyai sisa x-9, Jika sisa pembagian f(x) oleh x²+x-2 adalah s(x) maka berapa nilai s(4)?

$f(x)=P(x)\cdot H(x)+s(x)$

$f(x)=x^2+x-2+ax+b$

$f(x)=(x+2)(x-1)+ax+b$

$f(x+1)=P(x)\cdot (x^2+2x)+2x-5$

$f(x+1)=P(x)\cdot x(x+2)+2x-5$

Bila x = 0 maka

$f(x+1)=P(x)\cdot x(x+2)+2x-5$

$f(1)=P(x)\cdot 0(2)-5$

f(1) = -5

Bila x = -2 maka

$f(x+1)=P(x)\cdot x(x+2)+2x-5$

$f(-1)=P(x)\cdot -2(0)-9$

f(-1) = -9

$f(x-1)=P(x)\cdot (x^2+x)+x-9$

$f(x-1)=P(x)\cdot x(x+1)+x-9$

Bila x = 0 maka

$f(x-1)=P(x)\cdot x(x+1)+x-9$

$f(-1)=P(x)\cdot 0(1)-9$

f(-1) = -9

Bila x = -1 maka

$f(x-1)=P(x)\cdot x(x-1)+x-9$

$f(-2)=P(x)\cdot -1(0)-10$

f(-2) = -10

$f(x)=(x+2)(x-1)+ax+b$

$f(-2)=(-2+2)(-2-1)-2a+b$

$f(-2)=0(-3)-2a+b$

$-10=0(-3)-2a+b$

$-2a+b=-10$ .... (1)

$f(x)=(x+2)(x-1)+ax+b$

$f(1)=(1+2)(1-1)+a+b$

$f(1)=3(0)+a+b$

$-5=3(0)+a+b$

$a+b=-5$ .... (2)

Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 5/3 dan b = -20/3 maka sisanya adalah 5x/3-20/3.

Nilai untuk 4 dari 5x/3-20/3 adalah 0.

5. Berapa sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ...... + 50! dibagi 12?

Diketahui setelah 3!, 4! + 5! + 6! + .... + 50! dapat dibagi 12 karena 4 x 3. Jadi hanya kita hitung 1! + 2! + 3! saja. Hasil dari 1! + 2! + 3! adalah 9. 9 tidak habis dibagi 12 bersisa 9. Jadi sisa adalah 9.

6. Sebuah bilangan dibagi 2 dibagi 3 dibagi 4 dibagi 5 sisa 1. maka berapa nilai bilangan tersebut?

Digunakan KPK dari 2, 3, 4 dan 5 adalah 60 lalu ditambahkan 1 menjadi 61. Maka bilangan itu adalah 61.

7. Sebuah bilangan dibagi 3 dibagi 6 dibagi 8 dibagi 9 sisa 2. maka berapa nilai bilangan tersebut?

Digunakan KPK dari 3, 6, 8 dan 9 adalah 72 lalu ditambahkan 2 menjadi 74. Maka bilangan itu adalah 74.

Teorema faktor

Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)

Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)

Beberapa memungkinkan yang diketahui:

• Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1.
• Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = -1.
• Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya:

untuk $x^3-2x^2-x+2=0$, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2

untuk $4x^3-2x^2-x+2=0$, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4

1. Salah satu faktor dari $x^3+4x^2-11x-30$ adalah 3 maka berapa nilai faktor lainnya?

Jawaban

$$\begin{array}{ccccccc}& 3& |& 1& 4& -11& -30\\ & & 0& 3& 21& 30\\ & & 1& 7& 10& 0\\ & x^2+7x+10& =0\\ & (x+2)(x+5)& =0\\ & x& =-2\vee x=-5\\ \end{array}$$

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari $x^3-2x^2-5x+6=0$!

apakah salah satu akarnya adalah 1? $(1{)}^3-2(1{)}^2-5(1)+6=1-2-5+6=0$

Ya

faktorkan tersebut

1	1	-2	-5	6
	0	1	-1	-6
	1	-1	-6	0

$x^3-2x^2-5x+6=0$

$(x-1)(x^2-x-6)=0$

$(x-1)(x-3)(x+2)=0$

$x_1=1\vee x_2=3\vee x_3=-2$

jadi himpunan penyelesaian adalah {-2, 1, 3}

Sifat akar

Pada persamaan berderajat 3: ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3

dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a

Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a

Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a

Pada persamaan berderajat 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4

dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a

Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a

Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a

Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya. (amati pola: –b/a, c/a, –d/a, e/a, …)

Contoh:

Diberikan persamaan $x^3-3x^2-10x+p=0$ dengan akar-akarnya x1, x2 x3. Jika 2x1 = -x2-x3. Carilah nilai p dan akar-akarnya!

$2x_1=-x_2-x_3=-(x_2+x_3)$

$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$

$x_1-2x_1=-\frac{b}{a}$

$-x_1=-\frac{-3}{1}$

$x_1=-3$

$x^3-3x^2-10x+p=0$

$(-3{)}^3-3(-3{)}^2-10(-3)+p=0$

$-27-27+30+p=0$

$p=24$

$x^3-3x^2-10x+24=0$

-3	1	-3	-10	24
	0	-3	18	-24
	1	-6	8	0

$x^3-3x^2-10x+24=0$

$(x+3)(x^2-6x+8)=0$

$(x+3)(x-2)(x-4)=0$

$x_1=-3\vee x_2=2\vee x_3=4$

Pembagian istimewa

Ada 3 jenis yaitu:

• Jika n adalah bilangan asli maka:

$\frac{a^n-b^n}{a-b}=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+....+a^2{b}^{n-3}+a{b}^{n-2}+b^{n-1}$

• Jika 2n adalah bilangan genap maka:

$\frac{a^{2n}-b^{2n}}{a+b}=a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}{b}^2-....-a^2{b}^{2n-3}+a{b}^{2n-2}-b^{2n-1}$

• Jika 2n + 1 adalah bilangan ganjil maka:

$\frac{a^{2n+1}+b^{2n+1}}{a+b}=a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}{b}^2-....+a^2{b}^{2n-2}-a{b}^{2n-1}+b^{2n}$

Modulus (mod)

Sifat modulus

1. (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n
2. ab mod n = (a mod n x b mod n) mod n
3. a^b mod n = ((a mod n)^b) mod n
4. a = b (mod n) ↔ a mod n = b mod n
5. Mencari digit terakhir pada sebuah operasi matematika dengan menggunakan basis mod 10
6. Teorema euler

$a^b\text{ mod }n=a^{b\text{ mod }\pi (n)}\text{ mod }n$ dengan syarat:

Didahului sifat nomor 3

p₁, p₂, dst adalah faktor prima dari n

$\pi (n)=n\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \dots \times \frac{p_k-1}{p_k}$

1. Teorema wilson

(p - 1)! = -1 mod p

(p - 3)! = $\frac{p-1}{2}$ mod p

p adalah bilangan prima

contoh soal

1. Berapa hasil sisa dari
   1. 34 dibagi 5
   2. 12³ dibagi 7
   3. 200 dibagi 13
   4. 19⁵ dibagi 9

jawaban:

Jawaban

$$\begin{array}{cc}*34\text{ mod }5& =(5\times 6+4)\text{ mod }5\\ & =4\text{ mod }5\\ & =4\\ *12^3\text{ mod }7& =(12\text{ mod }7{)}^3\text{ mod }7\\ & =5^3\text{ mod }7\\ & =5^{(3\text{ mod }\pi (7))}\text{ mod }7\\ & =5^{(3\text{ mod }6)}\text{ mod }7\\ & =5^3\text{ mod }7\\ & =125\text{ mod }7\\ & =6\\ *200\text{ mod }13& =(13\times 15+5)\text{ mod }13\\ & =5\text{ mod }13\\ & =5\\ *19^5\text{ mod }9& =(19\text{ mod }9{)}^5\text{ mod }9\\ & =1^5\text{ mod }9\\ & =1^{(5\text{ mod }\pi (9))}\text{ mod }9\\ & =1^{(5\text{ mod }6)}\text{ mod }9\\ & =1^5\text{ mod }9\\ & =1\text{ mod }9\\ & =1\\ \end{array}$$

Mencari bilangan

$\frac{S(k\cdot P+1)}{P}=k\cdot S+\frac{S}{P}$

Keterangan

S = Hasil sisa

k = bilangan bulat

P = Pembagi