Soal-Soal Matematika/Persamaan linear tiga variabel

Ada tiga solusi sistem penyelesaian persamaan linear tiga variabel yaitu:

1. solusi tunggal

bercirikan

1. semua koefisien dan konstanta yang berbeda atau hanya salah satu koefisien yang sama nilainya dengan konstanta dimana dua lainnya koefisien adalah nol.
2. memiliki 1 titik potong
3. rumus:

$:a_{1}x+b_{1}y+c_1=d_1:a_{2}x+b_{2}y+c_2=d_2:a_{3}x+b_{3}y+c_3=d_3:\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$ contoh: x+y-z=8, x+2y-4z=7 dan 2x-2y+3z=13

1. solusi tak hingga (banyak penyelesaian)

bercirikan

1. semua koefisen dan konstanta yang sama
2. memiliki garis berhimpit (sejajar)
3. banyak variabel ≥ banyak persamaan
4. rumus

$:a_{1}x+b_{1}y+c_1=d_1:a_{2}x+b_{2}y+c_2=d_2:a_{3}x+b_{3}y+c_3=d_3:\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{d_1}{d_2}$ contoh: 5x+6y-z=14, 10x+12y-2z=28 dan -5x-6y+z=-14

1. Tidak punya solusi (tidak memiliki penyelesaian)

bercirikan

1. semua koefisen yang sama tetapi konstanta yang berbeda
2. hasilnya hanya pasti konstanta yang berbeda
3. memiliki jawaban yang berbeda
4. rumus

$:a_{1}x+b_{1}y+c_1=d_1:a_{2}x+b_{2}y+c_2=d_2:a_{3}x+b_{3}y+c_3=d_3:\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\ne \frac{d_1}{d_2}$ contoh: 5x+y+z=8, 10x+2y+2z=16 dan -5x-y-z=8

Ada empat metode untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel yaitu: substitusi, eliminasi, matriks serta grafik.

contoh soal

1. tentukan persamaan linear sebagai berikut: x + 3y + 5z = 17, 2x + y + z = 11 serta x + 2y + 3z = 12!

substitusi

Jawaban

$$\begin{array}{cc}x+3y+5z& =17(1)\\ x& =17-3y-5z(1)\\ x+2y+3z& =12(3)\\ x& =12-2y-3z(3)\\ \text{persamaan pertama sama dengan persamaan ketiga agar disubstitusi.}\\ 17-3y-5z& =12-2y-3z(4)\\ y+2z& =5(4)\\ \text{persamaan pertama dikalikan dua.}\\ 2x+6y+10z& =34(1)\\ 2x+y+z& =11(2)\\ \text{persamaan pertama kurangkan persamaan kedua.}\\ 5y+9z& =23(5)\\ y+2z& =5(4)\\ 5y+9z& =23(5)\\ \text{persamaan keempat dikalikan lima.}\\ 5y+10z& =25(4)\\ 5y+9z& =23(5)\\ \text{langsung dieliminasi.}\\ z& =2\\ y+2z& =5\\ y+2(2)& =5\\ y+4& =5\\ y& =1\\ x+3(1)+5(2)& =17\\ x+3+10& =17\\ x& =4\end{array}$$

jadi nilai x, y dan z adalah 4, 1 dan 2.

eliminasi

Jawaban

$$\begin{array}{cc}x+3y+5z& =17(1)\\ 2x+y+z& =11(2)\\ \text{persamaan pertama dikalikan dua agar dieliminasi.}\\ 2x+6y+10z& =34(1)\\ 2x+y+z& =11(2)\\ \text{persamaan pertama kurangkan persamaan kedua.}\\ 5y+9z& =23(4)\\ x+3y+5z& =17(1)\\ x+2y+3z& =12(3)\\ \text{langsung dieliminasi.}\\ y+2z& =5(5)\\ 5y+9z& =23(4)\\ y+2z& =5(5)\\ \text{persamaan kelima dikalikan lima agar dieliminasi.}\\ 5y+9z& =23(4)\\ 5y+10z& =25(5)\\ \text{persamaan keempat kurangkan persamaan kelima.}\\ -z& =-2\\ z& =2\\ y+2z& =5\\ y+2(2)& =5\\ y+4& =5\\ y& =1\\ x+3(1)+5(2)& =17\\ x+3+10& =17\\ x& =4\end{array}$$

jadi nilai x, y dan z adalah 4, 1 dan 2.

matriks

Jawaban

$$\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}1& 3& 5& 17\\ 2& 1& 1& 11\\ 1& 2& 3& 12\end{array}\\ \text{b2-2b1}\\ \begin{array}{cccc}1& 3& 5& 17\\ 0& -5& -9& -23\\ 1& 2& 3& 12\end{array}\\ \text{b3-b1}\\ \begin{array}{cccc}1& 3& 5& 17\\ 0& -5& -9& -23\\ 0& -1& -2& -5\end{array}\\ \text{-b2/5}\\ \begin{array}{cccc}1& 3& 5& 17\\ 0& 1& \frac{9}{5}& \frac{23}{5}\\ 0& -1& -2& -5\end{array}\\ \text{b1-3b2}\\ \begin{array}{cccc}1& 0& -\frac{2}{5}& \frac{16}{5}\\ 0& 1& \frac{9}{5}& \frac{23}{5}\\ 0& -1& -2& -5\end{array}\\ \text{b3+b2}\\ \begin{array}{cccc}1& 0& -\frac{2}{5}& \frac{16}{5}\\ 0& 1& \frac{9}{5}& \frac{23}{5}\\ 0& 0& -\frac{1}{5}& -\frac{2}{5}\end{array}\\ \text{-5b3}\\ \begin{array}{cccc}1& 0& -\frac{2}{5}& \frac{16}{5}\\ 0& 1& \frac{9}{5}& \frac{23}{5}\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\\ \text{b1+2b3/5}\\ \begin{array}{cccc}1& 0& 0& 4\\ 0& 1& \frac{9}{5}& \frac{23}{5}\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\\ \text{b2-9b3/5}\\ \begin{array}{cccc}1& 0& 0& 4\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\end{array}$$

jadi nilai x, y dan z adalah 4, 1 dan 2.

grafik