Soal-Soal Matematika/Persamaan linear dua variabel

Persamaan linear dua variabel

bentuk:

• ax+by = c (implisit)
• y = mx + c (eksplisit)

Ada tiga solusi sistem penyelesaian persamaan linear dua variabel yaitu:

1. solusi tunggal

bercirikan

1. semua koefisien dan konstanta yang berbeda atau hanya salah satu koefisien yang sama nilainya dengan konstanta dimana salah satu lainnya koefisien adalah nol.
2. memiliki 1 titik potong
3. rumus:

$:a_{1}x+b_{1}y=c_1:a_{2}x+b_{2}y=c_2:\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}$ contoh: x+y=3 dan x+2y=5

1. solusi tak hingga (banyak penyelesaian)

bercirikan

1. semua koefisen dan konstanta yang sama
2. memiliki garis berhimpit (sejajar)
3. banyak variabel ≥ banyak persamaan
4. rumus

$:a_{1}x+b_{1}y=c_1:a_{2}x+b_{2}y=c_2:\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ contoh: 5x+6y=11 dan 10x+12y=22

1. Tidak punya solusi (tidak memiliki penyelesaian)

bercirikan

1. semua koefisen yang sama tetapi konstanta yang berbeda
2. hasilnya hanya pasti konstanta yang berbeda
3. memiliki jawaban yang berbeda
4. rumus

$:a_{1}x+b_{1}y=c_1:a_{2}x+b_{2}y=c_2:\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$ contoh: 5x+y=13 dan 10x+2y=16

Ada empat metode untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel yaitu: substitusi, eliminasi, matriks serta grafik.

1. Tentukan nilai x dan y dari persamaan 6x - 7y = 4 dan 2x + 3y = 12!

substitusi

Jawaban

$$\begin{array}{cc}6x-7y& =4\\ 6x& =7y+4\\ x& =\frac{7y+4}{6}\\ 2x+3y& =12\\ 2(\frac{7y+4}{6})+3y& =12\\ \frac{7y+4}{3}+3y& =12\\ 7y+4+9y& =36\\ 16y& =32\\ y& =2\\ x& =\frac{7y+4}{6}\\ & =\frac{7(2)+4}{6}\\ & =3\end{array}$$

jadi nilai x dan y adalah 3 dan 2.

eliminasi

Jawaban

$$\begin{array}{cc}6x-7y& =4(1)\\ 2x+3y& =12(2)\\ \text{persamaan kedua dikalikan tiga agar dieliminasi.}\\ 6x-7y& =4(1)\\ 6x+9y& =36(2)\\ \text{persamaan pertama kurangkan persamaan kedua.}\\ -16y& =-32\\ y& =2\\ 2x+3y& =12\\ 2x+3(2)& =12\\ 2x+6& =12\\ 2x& =6\\ x& =3\end{array}$$

jadi nilai x dan y adalah 3 dan 2.

matriks

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cc}6& -7\\ 2& 3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{c}4\\ 12\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]& ={\left[\begin{array}{cc}6& -7\\ 2& 3\end{array}\right]}^{-1}\cdot \left[\begin{array}{c}4\\ 12\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]& =\frac{1}{6(3)-(-7)2}\left[\begin{array}{cc}3& 7\\ -2& 6\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}4\\ 12\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]& =\frac{1}{32}\left[\begin{array}{cc}3& 7\\ -2& 6\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}4\\ 12\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]& =\frac{1}{32}\left[\begin{array}{c}96\\ 64\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]\end{array}$$

jadi nilai x dan y adalah 3 dan 2.

grafik

Gradien serta persamaan garis lurus

rumus gradien:

1. $m=\frac{y}{x}$
2. $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
3. sejajar: $m_1=m_2$
4. tegak lurus: $m_1=-\frac{1}{m_2}$
5. berpotongan: $tan\alpha =\frac{m_1+m_2}{1-m_1\cdot m_2}$ ($\alpha ={\beta }_1-{\beta }_2$)

rumus persamaan garis lurus:

1. $y=mx\pm c$
2. $y-y_1=m(x-x_1)$
3. $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

Jarak

Dua titik (A (x1, y1), B (x2,y2))

• |AB| = $\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Titik A (x1, y1) terhadap ax+by+c=0

• d = $\frac{|a{x}_1+b{y}_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

jika ada dua garis untuk mencari jarak maka ambil salah satu garis untuk mencari nilai x dan y secara sembarangan terlebih dahulu kemudian rumuskan sesuai dengan di atas

Titik A (x1, y1) terhadap y=mx+c

• d = $\frac{|y_1-m{x}_1-c|}{\sqrt{1+m^2}}$

Berkas persamaan linier

Persamaan lingkaran G1 dan G2 melalui komponen (x,y) dapat dirumuskan sebagai berikut: $G1+\lambda G2=0$

contoh soal

1 Jimmy memelihara ayam dan anjing yang berjumlah 44 kaki. Jumlah ayam di kandang dan anjing di teras adalah 15. maka berapa banyaknya ayam dan anjing masing-masing?

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{misalkan ayam = a dan anjing = b}\\ 2a+4b& =44\\ a+b& =15\\ a+b& =15\\ a& =15-b\\ 2(15-b)+4b& =44\\ 30-2b+4b& =44\\ 2b& =14\\ b& =7\\ a+7& =15\\ a& =8\end{array}jadibanyaknyaayam8ekorsertaanjing7ekor$$

2. tentukan persamaan garis lurus yang melalui (0,5) dan (2,7)!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\frac{y-5}{7-5}& =\frac{x-0}{2-0}\\ \frac{y-5}{2}& =\frac{x-0}{2}\\ y-5& =x\\ y& =x+5\end{array}$$

3 tentukan persamaan garis lurus yang melalui (0,5) dan sejajar dengan 2x + 3y = 7!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}2x+3y& =7\\ 3y& =-2x+7\\ y& =-\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}\\ m_1& =-\frac{2}{3}\\ m_2& =m_1\\ m_2& =-\frac{2}{3}\\ y-5& =-\frac{2}{3}(x-0)\\ y-5& =-\frac{2}{3}x\\ y& =-\frac{2}{3}x+5\end{array}$$

4 tentukan persamaan garis lurus yang melalui (2,9) dan tegak lurus dengan x + 4y = 8!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}x+4y& =8\\ 4y& =-x+8\\ y& =-\frac{1}{4}x+\frac{8}{4}\\ y& =-\frac{1}{4}x+2\\ m_1& =-\frac{1}{4}\\ m_2& =-\frac{1}{m_1}\\ m_2& =-\frac{1}{-\frac{1}{4}}\\ m_2& =4\\ y-9& =4(x-2)\\ y-9& =4x-8\\ y& =4x+1\end{array}$$

5. tentukan jarak (2,1) terhadap 4y-3x=8!

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{ubah 4y-3x=8 menjadi 3x-4y+8=0 }\\ d& =\frac{|3(2)+(-4)1+8|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}\\ & =\frac{|6-4+8|}{\sqrt{25}}\\ & =\frac{10}{5}\\ & =2\end{array}$$