Soal-Soal Matematika/Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

Sistem persamaan

bentuk

ax²+bx+c=0

Nilai hasil akar

Nilai hasil akar terdiri dari tiga jenis yaitu memfaktorkan, pengkuadratan serta rumus ABC.

contoh

1. tentukan nilai akar dari persamaan x²-16x+55=0!

cara 1

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{x}^2-16x+55& =0\\ \text{hasil faktor tersebut adalah -5 dan -11}\\ (x-5)(x-11)=0\\ x-5=0& \text{ atau }x-11=0\\ x=5& x=11\end{array}$$

cara 2

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{x}^2-16x+55& =0\\ x^2-16x& =-55\\ x^2-16x+64& =-55+64\\ (x-8{)}^2& =9\\ x-8& =\pm \sqrt{9}\\ x-8& =\pm 3\\ x-8=3& \text{ atau }x-8=-3\\ x=11& x=5\end{array}$$

cara 3

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{x}^2-16x+55& =0\\ x& =\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\\ x& =\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x& =\frac{-(-16)\pm \sqrt{(-16{)}^2-4(1)(55)}}{2(1)}\\ & =\frac{16\pm \sqrt{256-220}}{2}\\ & =\frac{16\pm \sqrt{36}}{2}\\ & =\frac{16\pm 6}{2}\\ & =8\pm 3\\ x=8+3& \text{ atau }x=8-3\\ x=11& x=5\end{array}$$

Sifat akar (Teorema Vieta)

bentuk:

ax²+bx+c=0

x²+b/ax+c/a=0

dengan menggunakan (x-x1)(x-x2)

(x-x1)(x-x2)=0

x²-(x1+x2)x+x1x2=0

x²-(-b/a)x+c/a=0

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{D}}{a}$ (jarang)

contoh

1. tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah -2 dan 5!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{x}_1& =-2\\ x_2& =5\\ x_1+x_2& =-2+5=3\\ x_1\cdot x_2& =-2\cdot 5=-10\\ \text{ jadi persamaan kuadrat adalah }{x}^2-3x-10=0\end{array}$$

1. tentukan jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat adalah x²-12x+20 = 0!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{x}^2-12x+20& =0\\ x_1+x_2& =-(\frac{-12}{1})\\ x_1+x_2& =12\\ x_1\cdot x_2& =\frac{20}{1}\\ x_1\cdot x_2& =20\\ \text{ jadi jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat adalah }12\text{ dan }20\end{array}$$

1. tentukan nilai p dari persamaan x²-8x+p=0 dimana salah satu akarnya 2 lebih dari akar lainnya!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{x}_1& =x_2+2\\ x_1-x_2& =2\\ x_1+x_2& =8\\ x_1-x_2& =2\\ \text{eliminasi kedua akar persamaan.}\\ 2x_2& =6\\ x_2& =3\\ x_1-x_2& =2\\ x_1-3& =2\\ x_1& =5\\ x_1\cdot x_2& =p\\ 5(3)& =p\\ p& =15\end{array}$$

1. tentukan nilai p jika persamaan kuadrat 2x²-5x+3 = 0 dan x²+px+4 = 0 mempunyai akar-akar persekutuan!

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{cara 1 }\\ 2x^2-5x+3& =0\\ (2x-3)(x-1)& =0\\ x_1=\frac{3}{2}& \text{ atau }{x}_2=1\\ \text{untuk }{x}_1& =\frac{3}{2}\\ (\frac{3}{2}{)}^2+p(\frac{3}{2})+4& =0\\ \frac{9}{4}+\frac{3p}{2}+4& =0\\ \frac{25}{4}+\frac{3p}{2}& =0\\ \frac{3p}{2}& =-\frac{25}{4}\\ p& =-\frac{25}{6}\\ \text{untuk }{x}_2& =1\\ 1^2+p(1)+4& =0\\ 1+p+4& =0\\ p& =-5\\ \text{cara 2 }\\ 2x^2-5x+3& =0(1)\\ x^2+px+4& =0\\ 2x^2+2px+8& =0(2)\\ \text{eliminasi kedua persamaan }\\ (2p+5)x+5& =0\\ x& =\frac{-5}{2p+5}\\ 2(\frac{-5}{2p+5}{)}^2-5(\frac{-5}{2p+5})+3& =0\\ 2(\frac{25}{(2p+5{)}^2})+(\frac{25}{2p+5})+3& =0\\ 50+25(2p+5)+3(2p+5{)}^2& =0\\ \text{misalkan }a=2p+5\\ 3a^2+25a+50& =0\\ (3a+10)(a+5)& =0\\ a_1=-\frac{10}{3}& \text{ atau }{a}_2=-5\\ \text{untuk }{a}_1& =-\frac{10}{3}\\ -\frac{10}{3}& =2p+5\\ 2p& =-\frac{25}{3}\\ p& =-\frac{25}{6}\\ \text{untuk }{a}_2& =-5\\ -5& =2p+5\\ 2p& =-10\\ p& =-5\\ \text{cara 3 }\\ 2x^2-5x+3& =0\\ (2x-3)(x-1)& =0\\ x_1=\frac{3}{2}& \text{ atau }{x}_2=1\\ \text{jika }{x}_1\text{ merupakan akar persekutuan }\\ x^2+px+4& =0\\ x_1+x_3& =-p\\ x_1\cdot x_3& =4\\ \frac{3}{2}{x}_3& =4\\ x_3& =\frac{8}{3}\\ \frac{3}{2}+\frac{8}{3}& =-p\\ \frac{9+16}{6}& =-p\\ p& =-\frac{25}{6}\\ \text{jika }{x}_2\text{ merupakan akar persekutuan }\\ x^2+px+4& =0\\ x_2+x_3& =-p\\ x_2\cdot x_3& =4\\ (1)x_3& =4\\ x_3& =4\\ 1+4& =-p\\ p& =-5\end{array}$$

1. tentukan nilai k jika persamaan kuadrat 2x²+9x+k+1 = 0 dan x²+10x+k+7 = 0 mempunyai akar-akar persekutuan!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}2x^2+9x+k+1& =0(1)\\ x^2+10x+k+7& =0\\ 2x^2+20x+2k+14& =0(2)\\ \text{eliminasi kedua persamaan }\\ 11x+k+13& =0\\ x& =\frac{-13-k}{11}\\ (\frac{-13-k}{11}{)}^2+10(\frac{-13-k}{11})+k+7& =0\\ \frac{169+26k-k^2}{121}-(\frac{130+10k}{11})+k+7& =0\\ 169+26k-k^2-11(130+10k)+121(k+7)& =0\\ 169+26k-k^2-1430-110k+121k+847& =0\\ k^2+37k-414& =0\\ (k+46)(k-9)& =0\\ k_1=-46& \text{ atau }{k}_2=9\end{array}$$

1. tentukan nilai l jika persamaan kuadrat 3x²+(l+2)x+2 = 0 dan x²+(l-4)x-2 = 0 mempunyai akar-akar persekutuan!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}3x^2+(l+2)x+2& =0(1)\\ x^2+(l-4)x-2& =0\\ 3x^2+(3l-12)x-6& =0(2)\\ \text{eliminasi kedua persamaan }\\ (2l-14)x-8& =0\\ (l-7)x-4& =0\\ x& =\frac{4}{l-7}\\ (\frac{4}{l-7}{)}^2+(l-4)(\frac{4}{l-7})-2& =0\\ \frac{16}{(l-7{)}^2}+(\frac{4l-16}{l-7})-2& =0\\ 16+(4l-16)(l-7)-2(l-7{)}^2& =0\\ 16+4l^2-16l-28l+112-2l^2+28l-98& =0\\ 2l^2-16l+30& =0\\ l^2-8l+15& =0\\ (l-3)(l-5)& =0\\ l_1=3& \text{ atau }{l}_2=5\end{array}$$

1. tentukan nilai a jika persamaan kuadrat x²-5x+a = 0 dan x²+3x-a = 0 mempunyai akar-akar persekutuan!

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{cara 1 }\\ x^2-5x+a& =0\\ x_1+x_2& =5\\ x_1\cdot x_2& =a\\ x^2+3x-a& =0\\ x_1+x_3& =-3\\ x_1\cdot x_3& =-a\\ \text{bandingkan hasil kali kedua persamaan}\\ \frac{x_2}{x_3}& =\frac{a}{-a}\\ \frac{x_2}{x_3}& =-1\\ x_2& =-x_3\\ \text{eliminasi jumlah kedua persamaan}\\ x_2-x_3& =8\\ -x_3-x_3& =8\\ -2x_3& =8\\ x_3& =-4\\ x_2& =-(-4)\\ & =4\\ x_1-4& =-3\\ x_1& =1\\ 1(4)=a\\ a& =4\\ \text{cara 2 }\\ x^2-5x+a& =0(1)\\ x^2+3x-a& =0(2)\\ \text{eliminasi kedua persamaan }\\ -8x+2a& =0\\ -8x& =-2a\\ x& =\frac{a}{4}\\ (\frac{a}{4}{)}^2+3(\frac{a}{4})-a& =0\\ \frac{a^2}{16}+\frac{3a}{4}-a& =0\\ \frac{a^2}{16}-\frac{a}{4}& =0\\ a^2-4a& =0\\ a(a-4)& =0\\ a_1=0& \text{ atau }{a}_2=4\end{array}$$

Persamaan kuadrat baru

bentuk

x' = x diubah menjadi x = x' dengan menggunakan sifat akar.

Persamaan kuadrat baru

Pernyataan	Akar lama	Akar baru	Persamaan kuadrat baru
lebihnya dari	x'=x+p	x=x'-p	a(x'-p)2+b(x'-p)+c=0
kurangnya dari	x'=x-p	x=x'+p	a(x'+p)2+b(x'+p)+c=0
kalinya dari	x'=px	x=x'/p	a(x')2+bpx'+cp2=0
baginya dari	x'=x/p	x=px'	ap2(x')2+bpx'+c=0
berlawanan	x'=-x	x=-x'	a(x')2-bx'+c=0
kebalikan	x'=1/x	x=1/x'	c(x')2+bx'+a=0
kuadratnya	x=(x')2	$x^{\prime }=\sqrt{x}$	a2(x')2-(b2-2ac)x'+c2=0
akarnya	$x=\sqrt{x^{\prime }}$	(x')=x2	a(x')4-b(x')2+c=0

Buktikan akar-akar baru kuadratnya dari akar-akar lama!

Pembuktian

$$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }=x^2& \text{ diubah menjadi }x=\sqrt{x^{\prime }}\\ a{x}^2+bx+c& =0\\ a(\sqrt{x^{\prime }}{)}^2+b(\sqrt{x^{\prime }})+c& =0\\ a(x^{\prime })+b(\sqrt{x^{\prime }})+c& =0\\ a(x^{\prime })+c& =-b(\sqrt{x^{\prime }})\\ a^2(x^{\prime }{)}^2+2ac(x^{\prime })+c^2& =b^2(x^{\prime })\\ a^2(x^{\prime }{)}^2-b^2(x^{\prime })+2ac(x^{\prime })+c^2& =0\\ a^2(x^{\prime }{)}^2-(b^2-2ac)(x^{\prime })+c^2& =0\end{array}$$

contoh

1. tentukan persamaan kuadrat baru dari 2x²-3x+1=0 yang akar-akarnya p-2 dan q-2!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}p+q=\frac{3}{2}& \text{ dan }pq=\frac{1}{2}\\ x_1=p-2& \text{ dan }{x}_2=q-2\\ x_1+x_2& =p-2+q-2\\ & =p+q-4=\frac{3}{2}-4=-\frac{5}{2}\\ x_1\cdot x_2& =(p-2)\cdot (q-2)\\ & =pq-2(p+q)+4\\ & =\frac{5}{2}-2\cdot \frac{3}{2}+4\\ & =\frac{5-6+8}{2}\\ & =\frac{7}{2}\\ x^2-(-\frac{5}{2})x+\frac{7}{2}=0\\ 2x^2+5x+7=0\end{array}$$

1. tentukan persamaan kuadrat baru dari x²-x+3=0 yang akar-akarnya pq dan p+q!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}p+q=1& \text{ dan }pq=3\\ x_1=pq& \text{ dan }{x}_2=p+q\\ x_1+x_2& =pq+p+q\\ & =3+1=4\\ x_1\cdot x_2& =pq\cdot (p+q)\\ & =3\cdot 1=3\\ x^2-4x+3=0\end{array}$$

1. tentukan persamaan kuadrat baru dari 5x²+2x-1=0 yang akar-akarnya 1/q dan 1/q!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}p+q=-\frac{2}{5}& \text{ dan }pq=-\frac{1}{5}\\ x_1=\frac{1}{p}& \text{ dan }{x}_2=\frac{1}{q}\\ x_1+x_2& =\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\\ & =\frac{p+q}{pq}\\ & =\frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{1}{5}}\\ & =2\\ x_1\cdot x_2& =\frac{1}{p}\cdot \frac{1}{q}\\ & =\frac{1}{pq}\\ & =\frac{1}{-\frac{1}{5}}\\ & =-5\\ x^2-2x-5=0\end{array}$$

Diskriminan dan kriteria akar-akar

Diskriminan (D) = b²-4ac

Kriteria akar-akar

	Pernyataan
	D>0	D=0	D<0
a>0 (terbuka ke atas; nilai minimum)	memotong	menyinggung	tidak memotong dan tidak menyinggung
a<0 (terbuka ke bawah; nilai maksimum)

Kriteria akar-akar

Pernyataan	Kriteria
Kedua akar riil yang berbeda (D>0)
bertanda positif	x1+x2>0 dan x1x2>0
bertanda negatif	x1+x2<0 dan x1x2>0
bertanda berlawanan	x1x2<0
Akar riil yang sama (D=0)
berlawanan	b=0
kebalikan	c=a
Akar imajiner (D<0)
definit (selalu) positif	a>0
definit (selalu) negatif	a<0

contoh

1. tentukan nilai b yang memenuhi persamaan x²+(b-8)x+(b+3)=0 yang memiliki kedua akar yang berbeda dan bertanda positif!

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{kedua akar real yang berbeda dan bertanda positif memiliki 3 syarat yaitu}\\ \ast D& >0\\ (b-8{)}^2-4(1)(b+3)& >0\\ b^2-16x+64-4b-12& >0\\ b^2-20b+52& >0\\ \text{harga nol}{b}^2-20b+52& =0\\ b& =\frac{20\pm \sqrt{(-20{)}^2-4(1)(52)}}{2}\\ & =\frac{20\pm \sqrt{400-208}}{2}\\ & =\frac{20\pm \sqrt{192}}{2}\\ & =\frac{20\pm 8\sqrt{3}}{2}\\ & =10\pm 4\sqrt{3}\\ 10-4\sqrt{3}& <b& <10+4\sqrt{3}\\ \ast x_1+x_2& >0\\ -(b-8)& >0\\ 8-b& >0\\ b& <8\\ \ast x_1\cdot x_2& >0\\ b+3& >0\\ b& >-3\\ \text{nilai b yang memenuhi adalah}10-4\sqrt{3}<b<8\end{array}$$

catatan grafik irisan:

• jawaban 1

• • grafik arsiran 1

	$10-4\sqrt{3}$		$10+4\sqrt{3}$
——		+++		——

• • grafik arsiran 2

	8
——		+++

• • grafik arsiran 3

	-3
——		+++

• • grafik irisan arsiran 1, 2 dan 3

	-3		$10-4\sqrt{3}$		8		$10+4\sqrt{3}$
				A		A
A		A		A
		A		A		A		A

Jarak (x2,y2) pada persamaan kuadrat/parabola

• anggap persamaaan nilai y sebagai y1
• masukkan y1 ke rumus jarak yaitu d = $\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$
• kemudian turunan d’ dalam akar dari d sama dengan nilai nol untuk mencari nilai x
• jika mendapatkan xa, xb, xc, dst lalu masukkan lagi ke d yang tadi (tidak perlu mencari ya, yb, yc, dst karena persamaan y telah dimasukkan ke d yang tadi)
• kalau jarak terdekat bila nilai d terkecil (d’ minimum) tapi terjauh bila nilai d tak terhingga nilainya (d’ maksimum)

contoh

1. tentukan jarak terdekat (2,0) terhadap $y=\sqrt{x}$!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}d& =\sqrt{(x-2{)}^2+(\sqrt{x}-0{)}^2}\\ & =\sqrt{x^2-4x+4+x}\\ & =\sqrt{x^2-3x+4}\\ \text{turunan d dalam akar }\\ f^{\prime }(x)& =2x-3\\ \text{untuk mencapai minimum (f'(x)) harus bernilai nol }\\ 2x-3& =0\\ x& =\frac{3}{2}\\ d& =\sqrt{(\frac{3}{2}{)}^2-3(\frac{3}{2})+4}\\ & =\sqrt{\frac{7}{4}}\\ & =\frac{\sqrt{7}}{2}\end{array}$$

Persamaan parabola

untuk persamaan parabola ini dimana titik pusat dianggap sebagai titik puncak.

	Vertikal	Horisontal
	Titik pusat (0,0)
Persamaan	$x^2=4py$	$y^2=4px$
Sumbu simetri	sumbu y (x=0)	sumbu x (y=0)
Panjang Latus Rectum	L = 4p	L = 4p
Fokus	$F(0,p)$	$F(p,0)$
Direktris	y = -p	x = -p
	Titik pusat (h,k)
Persamaan	$(x-h{)}^2=4p(y-k)$	$(y-k{)}^2=4p(x-h)$
Sumbu simetri	x = h	y = k
Panjang Latus Rectum	L = 4p	L = 4p
Fokus	$F(h,k+p)$	$F(h+p,k)$
Direktris	y = k-p	x = h-p

Persamaan garis singgung

bergradien $m$ ($y=mx+c$)

Vertikal	Horisontal
Titik pusat (0,0)
$y=mx-p{m}^2$	$y=mx+\frac{p}{m}$
Titik pusat (h,k)
$(y-k)=m(x-h)-p{m}^2$	$(y-k)=m(x-h)+\frac{p}{m}$

jika persamaan garis lurus bergradien sejajar maka $m_2=m_1$

jika persamaan garis lurus bergradien tegak lurus maka $m_2=\frac{-1}{m_1}$

melalui titik $(x_1,y_1)$

dengan cara bagi adil

Vertikal	Horisontal
Titik pusat (0,0)
$x{x}_1=2py+2p{y}_1$	$y{y}_1=2px+2p{x}_1$
Titik pusat (h,k)
$(x-h)(x_1-h)=2p(y-k)+2p(y_1-k)$	$(y-k)(y_1-k)=2p(x-h)+2p(x_1-h)$

jika titik $(x_1,y_1)$ berada di dalam bentuknya maka ada 1 persamaan garis singgung (1 langkah).

jika titik $(x_1,y_1)$ berada di luar bentuknya maka ada 2 persamaan garis singgung (2 langkah) dimana hasil y dari persamaan singgung pertama masuk ke persamaan kuadrat/parabola untuk mencari x.

contoh

Titik pusat (0,0)

• Tentukan persamaan garis singgung yang bergradien 2 terhadap $y^2=16x$!

jawab:

$y^2=16x->y^2=4(4x)\text{ jadi }p=4$

$y=mx+\frac{p}{m}$

$y=2x+\frac{4}{2}$

$y=2x+2$

• Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (4,8) terhadap $y^2=16x$!

jawab:

$y^2=16x->y^2=4(4x)\text{ jadi }p=4$

$y^2-16x=0\text{ maka masukkan lah (4,8) }(8{)}^2-16(4)=0=0$ (dalam)

dengan cara bagi adil

$y{y}_1=2px+2p{x}_1$

$8y=2(4)x+2(4)(4)$

$8y=8x+32$ (dibagi 8)

$y=x+4$

• Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,5) terhadap $y^2=16x$!

jawab:

$y^2=16x->y^2=4(4x)\text{ jadi }p=4$

$y^2-16x=0\text{ maka masukkan lah (1,5) }(5{)}^2-16(1)=9>0$ (luar)

dengan cara bagi adil

$y{y}_1=2px+2p{x}_1$

$5y=2(4)x+2(4)(1)$

$5y=8x+8$

$y=\frac{8}{5}x+\frac{8}{5}$

masukkan lah $y^2=16x$

$(\frac{8}{5}x+\frac{8}{5}{)}^2=16x$

$\frac{64}{25}{x}^2+\frac{128}{25}x+\frac{64}{25}-16x=0$

$\frac{64}{25}{x}^2+\frac{128}{25}x+\frac{64}{25}-\frac{400}{25}x=0$

$\frac{64}{25}{x}^2-\frac{272}{25}x+\frac{64}{25}=0$ (dibagi 16/25)

$4x^2-17x+4=0$

maka kita mencari nilai x

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\frac{17\pm \sqrt{289-256}}{8}$

$x=\frac{17\pm \sqrt{33}}{8}$

$x_1=\frac{17+\sqrt{33}}{8}$ atau $x_2=\frac{17-\sqrt{33}}{8}$

maka kita mencari nilai y

untuk $x_1$

$y_1=\frac{8}{5}(\frac{17+\sqrt{33}}{8})+\frac{8}{5}$

$y_1=\frac{17}{5}+\frac{\sqrt{33}}{5}+\frac{8}{5}$

$y_1=5+\frac{\sqrt{33}}{5}$

jadi $(\frac{17+\sqrt{33}}{8},5+\frac{\sqrt{33}}{5})$

untuk $x_2$

$y_2=\frac{8}{5}(\frac{17-\sqrt{33}}{8})+\frac{8}{5}$

$y_2=\frac{17}{5}-\frac{\sqrt{33}}{5}+\frac{8}{5}$

$y_2=5-\frac{\sqrt{33}}{5}$

jadi $(\frac{17-\sqrt{33}}{8},5-\frac{\sqrt{33}}{5})$

kembali dengan cara bagi adil

untuk persamaan singgung pertama

$y{y}_1=2px+2p{x}_1$

$(5+\frac{\sqrt{33}}{5})y=2(4)x+2(4)(\frac{17+\sqrt{33}}{8})$

$(5+\frac{\sqrt{33}}{5})y=8x+17+\sqrt{33}$

untuk persamaan singgung kedua

$y{y}_2=2px+2p{x}_2$

$(5-\frac{\sqrt{33}}{5})y=2(4)x+2(4)(\frac{17-\sqrt{33}}{8})$

$(5-\frac{\sqrt{33}}{5})y=8x+17-\sqrt{33}$

Titik pusat (h,k)

• Tentukan persamaan garis singgung $y^2-6y-8x+9=0$ melalui persamaan yang tegak lurus $y-2x-5=0$!

jawab: ubah ke bentuk sederhana

$y^2-6y-8x+9=0$

$y^2-6y+9=8x$

$(y-3{)}^2=8x$

cari gradien persamaan $y-2x-5=0$

$y-2x-5=0$

$y=2x+5$

gradien ($m_1$) = 2 karena tegak lurus menjadi $m_2=-\frac{1}{2}$

cari $p$

$(y-3{)}^2=8x->(y-3{)}^2=4(2x)\text{ jadi }p=2$

$(y-k)=mx+\frac{p}{m}$

$y-3=-\frac{1}{2}x+\frac{2}{-\frac{1}{2}}$

$y-3=-\frac{1}{2}x-4$

$y=-\frac{1}{2}x-1$

• Tentukan persamaan garis singgung $y^2-6y-8x+9=0$ yang berordinat 6!

jawab: ubah ke bentuk sederhana

$y^2-6y-8x+9=0$

$y^2-6y+9=8x$

$(y-3{)}^2=8x$

cari absis dimana ordinat 6

$(y-3{)}^2=8x$

$(6-3{)}^2=8x$

$9=8x$

$x=\frac{9}{8}$

$(y-3{)}^2=8x->(y-3{)}^2=4(2x)\text{ jadi }p=2$

dengan cara bagi adil

$(y-k)(y_1-k)=2px+2p{x}_1$

$(y-3)(6-3)=2(2)x+2(2)(\frac{9}{8})$

$(y-3)3=4x+\frac{9}{2}$

$3y-9=4x+\frac{9}{2}$

$3y=4x+\frac{27}{2}$

$y=\frac{4}{3}x+\frac{27}{6}$

• Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,6) terhadap $y^2-6y-8x+9=0$!

ubah ke bentuk sederhana

$y^2-6y-8x+9=0$

$y^2-6y+9=8x$

$(y-3{)}^2=8x$

$(y-3{)}^2=8x->(y-3{)}^2=4(2x)\text{ jadi }p=2$

$(y-3{)}^2-8x=0\text{ maka masukkan lah (1,6) }(6-3{)}^2-8(1)=9-8=1>0$ (luar)

dengan cara bagi adil

$(y-k)(y_1-k)=2px+2p{x}_1$

$(y-3)(6-3)=2(2)x+2(2)(1)$

$(y-3)3=4x+4$

$3y-9=4x+4$

$3y=4x+13$

$y=\frac{4}{3}x+\frac{13}{3}$

masukkan lah $(y-3{)}^2=8x$

$(\frac{4}{3}x+\frac{13}{3}-3{)}^2=8x$

$(\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}{)}^2=8x$

$\frac{16}{9}{x}^2+\frac{32}{9}x+\frac{16}{9}-8x=0$

$\frac{16}{9}{x}^2-\frac{40}{9}x+\frac{16}{9}=0$ (dibagi 8/9)

$2x^2+5x+2=0$

maka kita mencari nilai x

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\frac{5\pm \sqrt{25-16}}{4}$

$x=\frac{5\pm \sqrt{9}}{4}$

$x_1=\frac{5+\sqrt{9}}{4}=2$ atau $x_2=\frac{5-\sqrt{9}}{4}=\frac{1}{2}$

maka kita mencari nilai y

untuk $x_1$

$y_1=\frac{4}{3}(2)+\frac{13}{3}=\frac{8}{3}+\frac{13}{3}=7$

jadi $(2,7)$

untuk $x_2$

$y_2=\frac{4}{3}(\frac{1}{2})+\frac{13}{3}=\frac{2}{3}+\frac{13}{3}=5$

jadi $(\frac{1}{2},5)$

kembali dengan cara bagi adil

untuk persamaan singgung pertama

$(y-k)(y_1-k)=2px+2p{x}_1$

$(y-3)(7-3)=2(2)x+2(2)(2)$

$(y-3)4=4x+8$

$4y-12=4x+8$

$4y=4x+20$ (dibagi 4)

$y=x+5$

untuk persamaan singgung kedua

$(y-k)(y_2-k)=2px+2p{x}_2$

$(y-3)(5-3)=2(2)x+2(2)(\frac{1}{2})$

$(y-3)2=4x+2$

$2y-6=4x+2$

$2y=4x+8$ (dibagi 2)

$y=2x+4$