Soal-Soal Matematika/Persamaan dan pertidaksamaan eksponen dan logaritma

Sistem persamaan

Eksponen

Rumus:

1. a^f(x) = a^g(x)
2. f(x)^a = g(x)^a
3. f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu
   1. g(x) = h(x)
   2. f(x) = 1
   3. f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif
   4. f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap
4. g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu
   1. g(x) = h(x)
   2. f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0

contoh

1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut:

• 4^2x2+3x-5 = 4^-2x2+x+15
• (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷
• (x+8)^2x2+3x+7 = (x+8)^x2+10x-5
• (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3

Jawaban

$$\begin{array}{cc}*4^{2x^2+7x-5}& =4^{-2x^2+3x+10}\\ 2x^2+7x-5& =-2x^2+3x+10\\ 4x^2+4x-15& =0\\ (2x-3)(2x+5)& =0\\ x& =\frac{3}{2}\text{atau}x=-\frac{5}{2}\\ *(-x^2-3x+1{)}^7& =(2x^2+2x-1{)}^7\\ -x^2-3x+1& =2x^2+2x-1\\ 3x^2+5x-2& =0\\ (3x-1)(x+2)& =0\\ x& =\frac{1}{3}\text{atau}x=-2\\ *(x+8{)}^{2x^2+3x+7}& =(x+8{)}^{x^2+10x-5}\\ 2x^2+3x+7& =x^2+10x-5\\ x^2-7x+12& =0\\ (x-3)(x-4)& =0\\ x& =3\text{atau}x=4\\ x+8& =1\\ x& =-7\\ x+8& =0\\ x& =-8\\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?}\\ 2x^2+3x+7& =\text{pasti positif}\\ x^2+10x-5& =\text{pasti positif}\\ x+8& =-1\\ x& =-9\\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?}\\ 2x^2+3x+7& =2(8{)}^2+3(8)+7=159\\ x^2+10x-5& =(8{)}^2+10(8)-5=139\\ \text{dapat memenuhi syarat}\\ *(3x^2+3x-20{)}^{2x-3}& =(2x^2+x+15{)}^{2x-3}\\ 3x^2+3x-20& =2x^2+x+15\\ x^2+2x-35& =0\\ (x-5)(x+7)& =0\\ x& =5\text{atau}x=-7\\ 2x-3& =0\\ x& =\frac{3}{2}\\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol}\\ \end{array}$$

Logaritma

Rumus:

1. ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0
2. ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1
3. ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1
4. ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1

contoh

1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut:

• ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4)
• ^2x2-11x+12log 8 = ^x2-13x+47log 8
• ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6)
• ^2x2-13x+53log (2x-15) = ^x2+2x-3log (2x-15)

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{*}^{4}log(2x^2-3x)& {=}^{4}log(x^2+2x-4)\\ 2x^2-3x& =x^2+2x-4\\ x^2-5x+4& =0\\ (x-4)(x-1)& =0\\ x& =4\text{atau}x=1\\ \text{syarat}\\ 2x^2-3x& >0\\ x(2x-3)& >0\\ \text{harga nol}x(2x-3)& =0\\ x& =0\text{atau}x=\frac{3}{2}\\ x& <0\text{atau}x>\frac{3}{2}\\ x^2+2x-4& >0\\ \text{harga nol}{x}^2+2x-4& =0\\ x& =\frac{-2\pm \sqrt{4+16}}{2}\\ x& =\frac{-2\pm \sqrt{20}}{2}\\ x& =\frac{-2\pm 2\sqrt{5}}{2}\\ x& =-1\pm \sqrt{5}\\ x_1& =-1-\sqrt{5}\\ x_2& =-1+\sqrt{5}\\ x_1& <-1-\sqrt{5}\text{atau}x>-1+\sqrt{5}\\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi}\\ x& <-1-\sqrt{5}\text{atau}x>\frac{3}{2}\\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah}x& =4\\ {*}^{2x^2-11x+12}log8& {=}^{x^2-13x+47}log8\\ 2x^2-11x+12& =x^2-13x+47\\ x^2+2x-35& =0\\ (x+7)(x-5)& =0\\ x& =-7\text{atau}x=5\\ \text{syarat}\\ 2x^2-11x+12& >0\\ \text{harga nol}2x^2-11x+12& =0\\ (2x-3)(x-4)& =0\\ x& =\frac{3}{2}\text{atau}x=4\\ x& <\frac{3}{2}\text{atau}x>4\\ 2x^2-11x+12& \ne 1\\ 2x^2-11x+11& \ne 0\\ x& \ne \frac{11\pm \sqrt{121-88}}{4}\\ x& \ne \frac{11\pm \sqrt{43}}{4}\\ x_1& \ne \frac{11-\sqrt{43}}{4}\\ x_2& \ne \frac{11+\sqrt{43}}{4}\\ x^2-13x+47& >0\\ \text{harga nol}{x}^2-13x+47& =0\\ x& =\frac{13\pm \sqrt{169-188}}{2}\\ \text{definit positif}\\ x^2-13x+47& \ne 1\\ x^2-13x+46& \ne 0\\ x& \ne \frac{13\pm \sqrt{169-184}}{2}\\ \text{definit positif}\\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi}\\ x& <\frac{3}{2},x>4\text{atau}x\ne \frac{11\pm \sqrt{43}}{4}\\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah}x& =-7,5\\ {*}^{4x-1}log(5x^2-12x+9)& {=}^{4x-1}log(x^2-5x+6)\\ 5x^2-12x+9& =x^2-5x+6\\ 4x^2-7x+3& =0\\ (4x-3)(x-1)& =0\\ x& =\frac{3}{4}\text{atau}x=1\\ \text{syarat}\\ 5x^2-12x+9& >0\\ \text{harga nol}5x^2-12x+9& =0\\ x& =\frac{12\pm \sqrt{144-180}}{10}\\ \text{definit positif}\\ x^2-5x+6& >0\\ \text{harga nol}{x}^2-5x+6& =0\\ (x-2)(x-3)& =0\\ x& =2\text{atau}x=3\\ x& <2\text{atau}x>3\\ 4x-1& >0\\ x& >\frac{1}{4}\\ 4x-1& \ne 1\\ 4x& \ne 2\\ x& \ne \frac{1}{2}\\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi}\\ \frac{1}{4}& <x<2,x>3\text{atau}x\ne \frac{1}{2}\\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah}x& =\frac{3}{4},1\\ {*}^{2x^2-13x+53}log(2x-15)& {=}^{x^2+2x-3}log(2x-15)\\ 2x^2-13x+53& =x^2+2x-3\\ x^2-15x+56& =0\\ (x-7)(x-8)& =0\\ x& =7\text{atau}x=8\\ \text{syarat}\\ 2x-15& >0\\ x& >\frac{15}{2}\\ 2x^2-13x+53& >0\\ \text{harga nol}2x^2-13x+53& =0\\ x& =\frac{13\pm \sqrt{169-424}}{4}\\ \text{definit positif}\\ 2x^2-13x+53& \ne 1\\ 2x^2-13x+52& \ne 0\\ x& \ne \frac{13\pm \sqrt{169-416}}{4}\\ \text{definit positif}\\ x^2+2x-3& >0\\ \text{harga nol}{x}^2+2x-3& =0\\ (x-1)(x+3)& =0\\ x& =1\text{atau}x=-3\\ x& <-3\text{atau}x>1\\ x^2+2x-3& \ne 1\\ x^2+2x-4& \ne 0\\ x& \ne \frac{-2\pm \sqrt{4+16}}{2}\\ x& \ne \frac{-2\pm \sqrt{20}}{2}\\ x& \ne \frac{-2\pm 2\sqrt{5}}{2}\\ x& \ne -1\pm \sqrt{5}\\ x_1& \ne -1-\sqrt{5}\\ x_2& \ne -1+\sqrt{5}\\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi}\\ x& >\frac{15}{2}\\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah}x& =8\\ \end{array}$$

catatan:

• jawaban 1

• • grafik arsiran 1

	0		3/2
+++		——-		+++

• • grafik arsiran 2

	$-1-\sqrt{5}$		$-1+\sqrt{5}$
+++		——-		+++

• • grafik irisan arsiran 1 dan 2

	$-1-\sqrt{5}$		0		$-1+\sqrt{5}$		3/2
+++		+++		——-		———		+++
+++		——-		——-		+++		+++

• jawaban 2

• • grafik arsiran 1

	3/2		4
+++		——-		+++

• • grafik arsiran 1 dan bernilai tak sama dengan nol

	$\frac{11-\sqrt{43}}{4}$		3/2		4		$\frac{11+\sqrt{43}}{4}$
+++		+++		——-		+++		+++

• jawaban 3

• • grafik arsiran 2

	2		3
+++		——-		+++

• • grafik arsiran 2 dan bernilai tak sama dengan nol

	1/4		1/2		2		3
——-		+++		+++		———		+++

• jawaban 3

• • grafik arsiran 3

	-3		1
+++		——-		+++

• • grafik arsiran 3 dan bernilai tak sama dengan nol

	$-1-\sqrt{5}$		-3		1		$-1+\sqrt{5}$		15/2
——-		----		----		———		-----		+++