Soal-Soal Matematika/Persamaan dan pertidaksamaan eksponen dan logaritma

Sistem persamaan

Eksponen

Rumus:

1. a^f(x) = a^g(x)
2. f(x)^a = g(x)^a
3. f(x)^g(x) = f(x)^h(x). Ada empat kemungkinan yaitu
   1. g(x) = h(x)
   2. f(x) = 1
   3. f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) harus bernilai positif
   4. f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua-dua harus ganjil atau genap
4. g(x)^f(x) = h(x)^f(x). Ada dua kemungkinan yaitu
   1. g(x) = h(x)
   2. f(x) = 0 dengan syarat {g(x), h(x)} ≠ 0

jumlah akar eksponen

$x_1+x_2{=}^{p}log\frac{c}{a}$ (p adakah bilangan pokok)

contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut:

• 4^2x2+3x-5 = 4^-2x2+x+15
• (-x²-3x+1)⁷ = (2x²+2x-1)⁷
• (x+8)^2x2+3x+7 = (x+8)^x2+10x-5
• (3x²+3x-20)^2x-3 = (2x²+x+15)^2x-3

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\ast 4^{2x^2+7x-5}& =4^{-2x^2+3x+10}\\ 2x^2+7x-5& =-2x^2+3x+10\\ 4x^2+4x-15& =0\\ (2x-3)(2x+5)& =0\\ x=\frac{3}{2}& \text{ atau }x=-\frac{5}{2}\\ \ast (-x^2-3x+1{)}^7& =(2x^2+2x-1{)}^7\\ -x^2-3x+1& =2x^2+2x-1\\ 3x^2+5x-2& =0\\ (3x-1)(x+2)& =0\\ x=\frac{1}{3}& \text{ atau }x=-2\\ \ast (x+8{)}^{2x^2+3x+7}& =(x+8{)}^{x^2+10x-5}\\ 2x^2+3x+7& =x^2+10x-5\\ x^2-7x+12& =0\\ (x-3)(x-4)& =0\\ x=3& \text{ atau }x=4\\ x+8& =1\\ x& =-7\\ x+8& =0\\ x& =-8\\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan masing-masing bernilai positif?}\\ 2x^2+3x+7& =\text{pasti positif}\\ x^2+10x-5& =\text{pasti positif}\\ x+8& =-1\\ x& =-9\\ \text{apakah kedua bilangan yang dipangkatkan sama-sama ganjil atau genap?}\\ 2x^2+3x+7& =2(8{)}^2+3(8)+7=159\\ x^2+10x-5& =(8{)}^2+10(8)-5=139\\ \text{dapat memenuhi syarat}\\ \ast (3x^2+3x-20{)}^{2x-3}& =(2x^2+x+15{)}^{2x-3}\\ 3x^2+3x-20& =2x^2+x+15\\ x^2+2x-35& =0\\ (x-5)(x+7)& =0\\ x=5& \text{ atau }x=-7\\ 2x-3& =0\\ x& =\frac{3}{2}\\ \text{dimana kedua bilangan pokok pasti bukan nol}\end{array}$$

Logaritma

Rumus:

1. ^alog f(x) = ^alog g(x), {f(x), g(x)} > 0
2. ^f(x)log a = ^g(x)log a, {f(x), g(x)} > 0 dan {f(x), g(x)} ≠ 1
3. ^f(x)log g(x) = ^f(x)log h(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {f(x)} ≠ 1
4. ^g(x)log f(x) = ^h(x)log f(x), {f(x), g(x), h(x)} > 0 dan {g(x), h(x)} ≠ 1

hasil akar eksponen

$x_1\cdot x_2=p^{-\frac{b}{a}}$ (p adakah bilangan pokok)

contoh 1 selesaikan persamaan eksponen sebagai berikut:

• ⁴log (2x²-3x) = ⁴log (x²+2x-4)
• ^2x2-11x+12log 8 = ^x2-13x+47log 8
• ^4x-1log (5x²-12x+9) = ^4x-1log (x²-5x+6)
• ^2x2-13x+53log (2x-15) = ^x2+2x-3log (2x-15)

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{\ast }^{4}log(2x^2-3x)& {=}^{4}log(x^2+2x-4)\\ 2x^2-3x& =x^2+2x-4\\ x^2-5x+4& =0\\ (x-4)(x-1)& =0\\ x=4& \text{ atau }x=1\\ \text{syarat 1}\\ 2x^2-3x& >0\\ x(2x-3)& >0\\ \text{harga nol }\\ x(2x-3)& =0\\ x=0& \text{ atau }x=\frac{3}{2}\\ x<0& \text{ atau }x>\frac{3}{2}\\ \text{syarat 2}\\ x^2+2x-4& >0\\ \text{harga nol }\\ x^2+2x-4& =0\\ x& =\frac{-2\pm \sqrt{4+16}}{2}\\ x& =\frac{-2\pm \sqrt{20}}{2}\\ x& =\frac{-2\pm 2\sqrt{5}}{2}\\ x& =-1\pm \sqrt{5}\\ x_1& =-1-\sqrt{5}\\ x_2& =-1+\sqrt{5}\\ x_1<-1-\sqrt{5}& \text{ atau }x>-1+\sqrt{5}\\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi}\\ x<-1-\sqrt{5}& \text{ atau }x>\frac{3}{2}\\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah }x& =4\\ {\ast }^{2x^2-11x+12}log8& {=}^{x^2-13x+47}log8\\ 2x^2-11x+12& =x^2-13x+47\\ x^2+2x-35& =0\\ (x+7)(x-5)& =0\\ x=-7& \text{ atau }x=5\\ \text{syarat 1}\\ 2x^2-11x+12& >0\\ \text{harga nol }2x^2-11x+12& =0\\ (2x-3)(x-4)& =0\\ x=\frac{3}{2}& \text{ atau }x=4\\ x<\frac{3}{2}& \text{ atau }x>4\\ \text{syarat 2}\\ 2x^2-11x+12& \ne 1\\ 2x^2-11x+11& \ne 0\\ x& \ne \frac{11\pm \sqrt{121-88}}{4}\\ x& \ne \frac{11\pm \sqrt{43}}{4}\\ x_1& \ne \frac{11-\sqrt{43}}{4}\\ x_2& \ne \frac{11+\sqrt{43}}{4}\\ \text{syarat 3}\\ x^2-13x+47& >0\\ \text{harga nol }{x}^2-13x+47& =0\\ x& =\frac{13\pm \sqrt{169-188}}{2}\\ \text{definit positif}\\ \text{syarat 4}\\ x^2-13x+47& \ne 1\\ x^2-13x+46& \ne 0\\ x& \ne \frac{13\pm \sqrt{169-184}}{2}\\ \text{definit positif}\\ \text{dari irisan digabungkan maka yang memenuhi}\\ x<\frac{3}{2},x>4& \text{ atau }x\ne \frac{11\pm \sqrt{43}}{4}\\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah }x& =-7,5\\ {\ast }^{4x-1}log(5x^2-12x+9)& {=}^{4x-1}log(x^2-5x+6)\\ 5x^2-12x+9& =x^2-5x+6\\ 4x^2-7x+3& =0\\ (4x-3)(x-1)& =0\\ x=\frac{3}{4}& \text{ atau }x=1\\ \text{syarat 1}\\ 5x^2-12x+9& >0\\ \text{harga nol }5x^2-12x+9& =0\\ x& =\frac{12\pm \sqrt{144-180}}{10}\\ \text{definit positif}\\ \text{syarat 2}\\ x^2-5x+6& >0\\ \text{harga nol }{x}^2-5x+6& =0\\ (x-2)(x-3)& =0\\ x=2& \text{ atau }x=3\\ x<2& \text{ atau }x>3\\ \text{syarat 3}\\ 4x-1& >0\\ x& >\frac{1}{4}\\ \text{syarat 4}\\ 4x-1& \ne 1\\ 4x& \ne 2\\ x& \ne \frac{1}{2}\\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi}\\ \frac{1}{4}& <x<2,x>3\text{ atau }x\ne \frac{1}{2}\\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah }x& =\frac{3}{4},1\\ {\ast }^{2x^2-13x+53}log(2x-15)& {=}^{x^2+2x-3}log(2x-15)\\ 2x^2-13x+53& =x^2+2x-3\\ x^2-15x+56& =0\\ (x-7)(x-8)& =0\\ x=7& \text{ atau }x=8\\ \text{syarat 1}\\ 2x-15& >0\\ x& >\frac{15}{2}\\ \text{syarat 2}\\ 2x^2-13x+53& >0\\ \text{harga nol }2x^2-13x+53& =0\\ x& =\frac{13\pm \sqrt{169-424}}{4}\\ \text{definit positif}\\ \text{syarat 3}\\ 2x^2-13x+53& \ne 1\\ 2x^2-13x+52& \ne 0\\ x& \ne \frac{13\pm \sqrt{169-416}}{4}\\ \text{definit positif}\\ \text{syarat 4}\\ x^2+2x-3& >0\\ \text{harga nol }{x}^2+2x-3& =0\\ (x-1)(x+3)& =0\\ x=1& \text{ atau }x=-3\\ x<-3& \text{ atau }x>1\\ \text{syarat 5}\\ x^2+2x-3& \ne 1\\ x^2+2x-4& \ne 0\\ x& \ne \frac{-2\pm \sqrt{4+16}}{2}\\ x& \ne \frac{-2\pm \sqrt{20}}{2}\\ x& \ne \frac{-2\pm 2\sqrt{5}}{2}\\ x& \ne -1\pm \sqrt{5}\\ x_1& \ne -1-\sqrt{5}\\ x_2& \ne -1+\sqrt{5}\\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi}\\ x& >\frac{15}{2}\\ \text{dari syarat-syarat tersebut maka yang memenuhi adalah }x& =8\end{array}$$

daerah arsiran untuk nomor satu

• syarat 1

	0		3/2
+++		——-		+++

• syarat 2

	$-1-\sqrt{5}$		$-1+\sqrt{5}$
+++		——-		+++

total irisan

	$-1-\sqrt{5}$		0		$-1+\sqrt{5}$		3/2
Ya		Ya						Ya
Ya						Ya		Ya

daerah arsiran untuk nomor dua

• syarat 2

	3/2		4
+++		——-		+++

daerah arsiran untuk nomor tiga

• syarat 2

	2		3
+++		——-		+++

• syarat 3

	$\frac{1}{4}$
——-		+++

total irisan

	$\frac{1}{4}$		2		3
Ya		Ya				Ya
		Ya		Ya		Ya

daerah arsiran untuk nomor empat

• syarat 1

	$\frac{15}{2}$
——-		++*

• syarat 4

	-3		1		$\frac{15}{2}$
						Ya
Ya				Ya		Ya

• total irisan

	-3		1
+++		——-		+++

Sistem pertidaksamaan

Eksponen

Rumus:

Pertidaksamaan eksponen

Teks judul	af(x)≤ag(x)	af(x)>ag(x)
a>1	f(x)≤g(x)	f(x)>g(x)
0<a<1	f(x)≥g(x)	f(x)<g(x)

selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut:

• $27^{\frac{x+4}{3}}\ge {\frac{1}{81}}^{\frac{3x-8}{4}}$
• ${\frac{1}{16}}^{\frac{x^2}{4}-1}\ge {\frac{1}{8}}^{\frac{8-x}{3}}$
• $\sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}}\ge \frac{3^{x-2}}{9}$
• $3^{2x+1}+9\ge 28\cdot 3^x$

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\ast 27^{\frac{x+4}{3}}& \ge {\frac{1}{81}}^{\frac{3x-8}{4}}\\ (3^3{)}^{\frac{x+4}{3}}& \ge {\frac{1}{3^4}}^{\frac{3x-8}{4}}\\ 3^{x+4}& \ge (3^{-4}{)}^{\frac{3x-8}{4}}\\ 3^{x+4}& \ge 3^{-(3x-8)}\\ x+4& \ge -(3x-8)\\ x+4& \ge -3x+8\\ 4x& \ge 4\\ x& \ge 1\\ \ast {\frac{1}{16}}^{\frac{x^2}{4}-1}& \ge {\frac{1}{8}}^{\frac{8-x}{3}}\\ {\frac{1}{2^4}}^{\frac{x^2}{4}-1}& \ge {\frac{1}{2^3}}^{\frac{8-x}{3}}\\ {\frac{1}{2}}^{4(\frac{x^2}{4}-1)}& \ge {\frac{1}{2}}^{3(\frac{8-x}{3})}\\ {\frac{1}{2}}^{4(\frac{x^2-4}{4})}& \ge {\frac{1}{2}}^{8-x}\\ {\frac{1}{2}}^{x^2-4}& \ge {\frac{1}{2}}^{8-x}\\ x^2-4& \le 8-x\\ x^2+x-12& \le 0\\ \text{harga nol }\\ x^2+x-12& =0\\ (x+4)(x-3)& =0\\ x=-4& \text{ atau }x=3\\ \text{jadi }-4\le x\le 3\\ \ast \sqrt[3]{\frac{1}{27^{x+2}}}& \ge \frac{3^{x-2}}{9}\\ (\frac{1}{(3^3{)}^{x+2}}{)}^{\frac{1}{3}}& \ge \frac{3^{x-2}}{3^2}\\ (\frac{1}{(3^3{)}^{x+2}}{)}^{\frac{1}{3}}& \ge 3^{x-4}\\ (\frac{1}{(3^{x+2}{)}^3}{)}^{\frac{1}{3}}& \ge 3^{x-4}\\ (3^{-3(x+2)}{)}^{\frac{1}{3}}& \ge 3^{x-4}\\ 3^{-(x+2)}& \ge 3^{x-4}\\ -(x+2)& \ge x-4\\ -x-2& \ge x-4\\ 2x& \le 2\\ x& \le 1\\ \ast 3^{2x+1}+9& \ge 28\cdot 3^x\\ 3\cdot (3^x{)}^2-28\cdot 3^x+9& \ge 0\\ (3\cdot 3^x-1)(3^x-9)& \ge 0\\ \text{harga nol }\\ (3\cdot 3^x-1)(3^x-9)& =0\\ 3^x=\frac{1}{3}& \text{ atau }{3}^x=9\\ \text{untuk }{3}^x=\frac{1}{3}\\ 3^x=\frac{1}{3}\\ 3^x=3^{-1}\\ x=-1\\ \text{untuk }{3}^x=9\\ 3^x=9\\ 3^x=3^2\\ x=2\\ \text{jadi }x\le -1\text{ atau }x\ge 2\end{array}$$

Logaritma

Rumus:

Pertidaksamaan logaritma

Teks judul	alog f(x)≤alog g(x)	alog f(x)>alog g(x)
a>1	f(x)≤g(x)	f(x)>g(x)
0<a<1	f(x)≥g(x)	f(x)<g(x)

selesaikan pertidaksamaan akar sebagai berikut:

• $2logx\le log(3x+7)+2log2$
• ${}^{\frac{1}{2}}log(x^2-2x){\ge }^{\frac{1}{2}}log(x+10)$
• $\frac{1}{{}^{x^2-4x}log3}{\ge }^{3}log(x+14)$
• ${}^{2}lo{g}^{2}x-2{\ge }^{2}logx$

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\ast 2logx& \le log(3x+7)+2log2\\ log{x}^2& \le log(3x+7)+log4\\ log{x}^2& \le log4(3x+7)\\ x^2& \le 4(3x+7)\\ x^2& \le 12x+28\\ x^2-12x-28& \le 0\\ \text{harga nol }\\ x^2-12x-28& =0\\ (x+2)(x-14)& =0\\ x=-2& \text{ atau }x=14\\ \text{jadi }-2\le x\le 14\\ \text{syarat 1 }\\ x& >0\\ \text{syarat 2 }\\ 3x+7& >0\\ x& >-\frac{7}{3}\\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah }0<x\le 14\\ {\ast }^{\frac{1}{2}}log(x^2-2x)& {\ge }^{\frac{1}{2}}log(x+10)\\ x^2-2x& \le x+10\\ x^2-3x-10& \le 0\\ \text{harga nol }\\ x^2-3x-10& =0\\ (x+2)(x-5)& =0\\ x=-2& \text{ atau }x=5\\ \text{jadi }-2\le x\le 5\\ \text{syarat 1 }\\ x^2-2x& >0\\ \text{harga nol }\\ x^2-2x& =0\\ x(x-2)& =0\\ x=0& \text{ atau }x=2\\ \text{jadi }x<0\text{ atau }x>2\\ \text{syarat 2 }\\ x+10& >0\\ x& >-10\\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah }-2\le x<0\text{ atau }2<x\le 5\\ \ast \frac{1}{{}^{x^2-4x}log3}& {\ge }^{3}log(x+14)\\ {}^{3}log(x^2-4x)& {\ge }^{3}log(x+14)\\ x^2-4x& \ge x+14\\ x^2-4x-x-14& \ge 0\\ x^2-5x-14& \ge 0\\ (x-7)(x+2)& \ge 0\\ \text{harga nol }\\ (x+2)(x-7)& =0\\ x=-2& \text{ atau }x=7\\ \text{jadi }x\le -2\text{ atau }x\ge 7\\ \text{syarat 1 }\\ x^2-4x& \ne 0\\ x(x-4)& \ne 0\\ x\ne 0& \text{ atau }x\ne 4\\ \text{syarat 2 }\\ x^2-4x& >0\\ x(x-4)& >0\\ \text{harga nol }\\ x(x-4)& =0\\ x=0& \text{ atau }x=4\\ \text{jadi }x<0\text{ atau }x>4\\ \text{syarat 3 }\\ x+14& >0\\ x& >-14\\ \text{dari ketiga irisan maka yang memenuhi adalah }-14<x\le -2\text{ atau }x\ge 7\\ {\ast }^{2}lo{g}^{2}x-2& {\ge }^{2}logx\\ {}^{2}lo{g}^{2}x{-}^{2}logx-2& \ge 0\\ {(}^{2}logx-2){(}^{2}logx+1)& \ge 0\\ \text{harga nol }\\ {(}^{2}logx-2){(}^{2}logx+1)& =0\\ {}^{2}logx=2& {\text{ atau }}^{2}logx=-1\\ {\text{untuk }}^{2}logx=2\\ {}^{2}logx& =2\\ x& =4\\ {\text{untuk }}^{2}logx=-1\\ {}^{2}logx& =-1\\ x& =\frac{1}{2}\\ \text{jadi }x\le \frac{1}{2}\text{ atau }x\ge 4\\ \text{syarat }\\ x& >0\\ \text{dari kedua irisan maka yang memenuhi adalah }0<x\le \frac{1}{2}\text{ atau }x\ge 4\end{array}$$

daerah arsiran untuk nomor satu

• utama

Teks takarir

	-2		14
+++		——		+++

• total irisan

Teks takarir

	$(-\frac{7}{3})$		-2		(0)		14
				Ya		Ya
						Ya		Ya
		Ya		Ya		Ya		Ya

daerah arsiran untuk nomor dua

• utama

Teks takarir

	-2		5
+++		——		+++

• syarat 1

Teks takarir

	0		2
+++		——		+++

• syarat 2

Teks takarir

	-10
——		+++

• total irisan

Teks takarir

	(-10)		-2		(0)		(2)		5
				Ya		Ya		Ya
Ya		Ya		Ya				Ya		Ya
		Ya		Ya		Ya		Ya		Ya

daerah arsiran untuk nomor tiga

• utama

Teks takarir

	-2		7
+++		——		+++

• syarat 2

Teks takarir

	(0)		(4)
+++		——		+++

• total irisan

Teks takarir

	(-14)		-2		(0)		(4)		7
Ya		Ya								Ya
Ya		Ya		Ya				Ya		Ya
		Ya		Ya		Ya		Ya		Ya

daerah arsiran untuk nomor empat

• utama

Teks takarir

	1/2		4
+++		——-		+++

• total irisan

Teks takarir

	(0)		1/2		4
Ya		Ya				Ya
		Ya		Ya		Ya