Soal-Soal Matematika/Permutasi dan kombinasi

Pemodelan faktorial

beberapa contoh sebagai berikut:

1. faktorial

• $\frac{1}{2}!=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$
• 0! = 1
• 1! = 1
• 2! = 2 x (2-1) = 2 x 1 = 1
• 3! = 3 x (3-1) x (3-2) = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x (4-1) x (4-2) x (4-3) = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• n! = $\prod _{i=1}^{n}i=nH(n-1)=1\cdot 2\cdot \cdots n.$

1. faktorial ganda

• 2!! = 2
• 3!! = 3 x (3-2) = 3 x 1 = 3
• 4!! = 4 x (4-2) = 4 x 2 = 8
• 5!! = 5 x (5-2) x (5-4) = 5 x 3 x 1 = 15
• 6!! = 6 x (6-2) x (6-4) = 6 x 4 x 2 = 48
• n!! = n x (n-2) x (n-4) x (n-6) dst…

1. faktorial tiga

• 3!!! = 3 = 3
• 4!!! = 4 x (4-3) = 4 x 1 = 4
• 5!!! = 5 x (5-3) = 5 x 2 = 10
• 6!!! = 6 x (6-3) = 6 x 3 = 18
• 7!!! = 7 x (7-3) x (7-6) = 7 x 4 x 1 = 28
• 8!!! = 8 x (8-3) x (8-6) = 8 x 5 x 2 = 80
• n!!! = n x (n-3) x (n-6) x (n-9) dst…

1. bagian faktorial

• !0 = 0! $(1-\frac{1}{0!})$ = 0
• !1 = 1! $(1-\frac{1}{1!})$ = 0
• !2 = 2! $(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!})$ = 1
• !3 = 3! $(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!})$ = 2
• !4 = 4! $(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!})$ = 9
• !n = n! $(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\cdot \pm \frac{1}{n!})$

1. ? faktorial

• 1$ = 1! = 1
• 2$ = 2!^2! = 4
• 3$ = 3!^3!3!3!3!3! =
• n$ = $n{!}^{n!}=$ (banyaknya hasil faktorial dari n!)

1. lebih faktorial

• S(1) = 1! = 1
• S(2) = 2! x 1! = 2
• S(3) = 3! x 2! x 1! = 12
• S(4) = 4! x 3! x 2! x 1! = 288
• S(n) = $\prod _{i=1}^{n}i!=i!H(n-1)=1!\cdot 2!\cdot \cdots n!=1!\cdot 2!\cdot \cdots n!.$

1. paling faktorial

• H(1) = 1¹ = 1
• H(2) = 2² x 1¹ = 4
• H(3) = 3³ x 2² x 1¹ = 108
• H(n) = $\prod _{i=1}^n{i}^i=n^{n}H(n-1)=1^1\cdot 2^2\cdot \cdots n^n.$

1. primorial

• 2# = 2
• 3# = 2 x 3 = 5
• 5# = 2 x 3 x 5 = 30
• 7# = 2 x 3 x 5 x 7 = 210
• n# = 2 x 3 x 5 x …. x n (n adalah bilangan prima secara berurutan)

Koefisien binomial

(x+y)ⁿ = $\sum _{k=0}^n{C}_k^n{x}^{n-k}{y}^k$

${(}_{k=0}^n)$ digunakan sebagai pemodelan kombinasi.

suku ke-a adalah u_a=u_k+1.

penjabaran tersebut memiliki k+1 suku.

suku ke-a adalah $C_{a-1}^n{x}^{n-a+1}{y}^{a-1}$.

koefisien ke-a adalah ${(}_{a-1}^n)$.

contoh soal

1. sederhanakan dari B = $(x-2{)}^5+5(x-2{)}^4+10(x-2{)}^3+10(x-2{)}^2+5(x-2)+1$!

jawaban

Dari di atas bahwa koefisien binomial adalah (a+b)⁵ = $a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$

Jadi B = $(x-2{)}^5+5(x-2{)}^4+10(x-2{)}^3+10(x-2{)}^2+5(x-2)+1$

B = ((x-2)+1)⁵ = (x-1)⁵

1. Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku keenam setelah ekspansi $(x^3-4{)}^8$!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{U}_6& =C_5^8(x^3{)}^{8-5}(-4{)}^5\\ & =\frac{8!}{5!\cdot 3!}{x}^9(-1.024)\\ & =\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{5!\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{x}^9(-1.024)\\ & =(56)x^9(-1.024)\\ & =-57.344x^9\end{array}$$

1. Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku ketujuh setelah ekspansi $(\frac{x^4}{2}-\frac{4}{y}{)}^{10}$!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{U}_7& =C_6^{10}(\frac{x^4}{2}{)}^{10-6}(\frac{4}{y}{)}^6\\ & =\frac{10!}{6!\cdot 4!}(\frac{x^4}{2}{)}^4\frac{4^6}{y^6}\\ & =\frac{10!}{6!\cdot 4!}\frac{x^{16}}{2^4}\frac{4^6}{y^6}\\ & =\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{6!\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\frac{x^{16}}{2^4}\frac{2^{12}}{y^6}\\ & =210\frac{2^8{x}^{16}}{y^6}\end{array}$$

1. Berapa hasil koefisien $\frac{x^4}{y^{12}}$ dari hasil penjabaran $(x^2+\frac{4}{y^3}{)}^6$!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}& =C_k^n(a{)}^{n-k}(b{)}^k\\ & =C_k^6(x^2{)}^{6-k}(\frac{4}{y^3}{)}^k\\ & =C_k^6{x}^{12-2k}\frac{4^k}{y^{3k}}\\ \frac{x^4}{y^{12}}& =x^{12-2k}\frac{4^k}{y^{3k}}\\ 4& =12-2k\\ 2k& =8\\ k& =4\\ & =C_4^6{x}^{12-2(4)}\frac{4^4}{y^{3(4)}}\\ & =\frac{6!}{4!\cdot 2!}{x}^4\frac{4^4}{y^{12}}\\ & =\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{4!\cdot 2\cdot 1}{x}^4\frac{4^4}{y^{12}}\\ & =\frac{3.840x^4}{y^{12}}\end{array}$$

Hasil koefisien $\frac{x^4}{y^{12}}$ adalah 3.840

1. Berapa hasil koefisien $\frac{1}{x^{29}}$ dari hasil penjabaran $(x^2+\frac{3}{x^5}{)}^{10}$!

jawaban

Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk

x¹⁰ adalah $(x^2{)}^p(x^{-5}{)}^q$ adalah p+q = 10. Persamaan eksponen $(x^2{)}^p(x^{-5}{)}^q=x^{-29}$ mengimplikasikan bahwa 2p-5q=-29. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=3 dan q=7. Karena q=7, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(7+1)=8. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat.

Jawaban

$$\begin{array}{cc}& =C_k^n(a{)}^{n-k}(b{)}^k\\ & =C_7^{10}(x^2{)}^{10-7}(\frac{3}{x^5}{)}^7\\ & =C_7^{10}{x}^6\frac{3^7}{x^{35}}\\ & =\frac{10!}{7!\cdot 3!}\frac{3^7}{x^{29}}\\ & =\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7!}{7!\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\frac{3^7}{x^{29}}\\ & =\frac{262.440}{x^{29}}\end{array}$$

Hasil koefisien $\frac{1}{x^{29}}$ adalah 262.440

1. Berapa hasil konstanta dari hasil penjabaran $(3x^3+\frac{1}{x^5}{)}^8$!

Nilai konstanta berarti variabel berpangkat nol jadi yaitu x⁰. Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x⁸ adalah $(3x^3{)}^p(x^{-5}{)}^q$ adalah p+q = 8. Persamaan eksponen $(3x^3{)}^p(x^{-5}{)}^q=x^0$ mengimplikasikan bahwa 3p-5q=0. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=5 dan q=3. Karena q=3, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(3+1)=4. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat.

Jawaban

$$\begin{array}{cc}& =C_k^n(a{)}^{n-k}(b{)}^k\\ & =C_3^8(3x^3{)}^{8-3}(\frac{1}{x^5}{)}^3\\ & =C_3^8{3}^5{x}^{15}\frac{1}{x^{15}}\\ & =\frac{8!}{3!\cdot 5!}405\\ & =\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 5!}405\\ & =22.680\end{array}$$

Hasil konstanta adalah 22.680

Permutasi

Ciri-ciri: jabatan, peringkat, nomor dan huruf diurutkan, cara mengatur (contoh kursi, bendera, duduk, dll), penyusunan angka dan huruf

berulangan

rumus: $P_r^n=n^r$

contoh soal

1. Berapa banyak cara terambilnya 4 huruf yang berbeda terdiri dari A, B, C dan D??

• cara 1

Jawaban

$$\begin{array}{c}4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24\text{ cara}\end{array}$$

• cara 2

ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA

jadi ada 24 cara

1. Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “ABDI" jika huruf vokal saling berdampingan?

• cara 1

Jawaban

$$\begin{array}{c}(4-1)!2!=3!2!=3\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 1=12\text{ cara}\end{array}$$

• cara 2

AIBD, AIDB, BAID, DAIB, BDAI, DBAI, IABD, IADB, BIAD, DIAB, BDIA, DBIA

jadi ada 12 cara

1. Ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong?

Jawaban

$$\begin{array}{c}5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120\text{ cara}\end{array}$$

1. Angka-angka terdiri atas 0, 9, 8, 7, 6, 5. Ada berapa banyak cara jika

• enam angka yang berbeda tersusun?
• enam angka yang berbeda tersusun jika angka pertama tidak boleh nol?
• tiga angka yang berbeda tersusun?
• tiga angka yang berbeda tersusun jika angka pertama tidak boleh nol?
• tiga angka yang sama yang lebih dari 780?
• tiga angka yang berbeda yang lebih dari 780?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\ast 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1& =720\text{ cara}\\ \ast 5\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1& =600\text{ cara}\\ \ast 6\cdot 5\cdot 4& =120\text{ cara}\\ \ast 5\cdot 5\cdot 4& =100\text{ cara}\\ \ast 1\cdot 1\cdot 5+1\cdot 1\cdot 6+2\cdot 6\cdot 6& =5+6+72=83\text{ cara}\\ \ast 1\cdot 1\cdot 4+1\cdot 1\cdot 4+2\cdot 5\cdot 4& =4+4+40=48\text{ cara}\end{array}$$

1. Kode kupon dibuat lima angka yang terdiri atas 1, 4, 4, 8, 9 dengan cara berurutan dari terkecil sampai terbesar.

• Berapa banyak cara yang dapat dibuat?
• Berapa banyak cara jika kode lebih besar daripada 94,000?
• Diurutan nomor berapa jika mendapat kode kupon 84914?

Jawaban

$$\begin{array}{c}\ast \frac{5!}{2!}=60\\ \text{banyak cara yang dapat dibuat }60\text{ cara }\\ \ast 94(?)(?)(?)& =3!=6\\ 98(?)(?)(?)& =\frac{3!}{2!}=3\\ \text{banyak cara jika kode lebih besar daripada 94,000 adalah 9 cara }\\ \ast 1(?)(?)(?)(?)& =\frac{4!}{2!}=12\\ 4(?)(?)(?)(?)& =4!=24\\ 81(?)(?)(?)& =\frac{3!}{2!}=3\\ 841(?)(?)& =2!=2\\ 844(?)(?)& =2!=2\\ 84914\\ \text{jadi kode kupon 84914 berada di urutan ke 44 }\end{array}$$

tanpa berulangan

rumus: $P_r^n=\frac{n!}{(n-r)!}$

contoh soal

1. Berapa banyak cara terambilnya 3 huruf yang berbeda terdiri dari A, B, C dan D?

• cara 1

Jawaban

$$\begin{array}{c}{P}_3^4=\frac{4!}{(4-3)!}=24\text{ cara}\end{array}$$

• cara 2

ABC, ABD, ACB, ACD, ABC, ABD, BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC, CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB, DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB

jadi 24 cara

1. Di dalam kelas mengadakan pemilihan ketua, wakil ketua dan sekretaris dimana kelas terdiri dari 5 murid laki-laki dan 4 murid perempuan. Ada berapa banyak carakah jika

• jabatan tersebut dipilih?
• jabatan tersebut dipilih jika murid perempuan tersebut menjadi ketua?
• jabatan tersebut dipilih jika murid laki-laki tersebut menjadi ketua atau murid perempuan menjadi sekretaris?

Jawaban

$$\begin{array}{c}\ast \text{cara 1 }\\ P_3^9=\frac{9!}{(9-3)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{6!}=504\text{ cara}\\ \text{cara 2 }\\ \text{jika ketua 9 maka wakil ketua 8 dan sekretaris 7 jadi }9\times 8\times 7=504\text{ cara}\\ \ast \text{cara 1 }\\ P_1^4\times P_2^8=\frac{4!}{(4-1)!}\times \frac{8!}{(8-2)!}=\frac{4!}{3!}\times \frac{8!}{6!}=\frac{4\cdot 3!}{3!}\times \frac{8\cdot 7\cdot 6!}{6!}=4\times 56=224\text{ cara}\\ \text{cara 2 }\\ \text{jika ketua 4 maka wakil ketua 8 dan sekretaris 7 jadi }4\times 8\times 7=224\text{ cara}\\ \ast n(KL\cup SP)=n(KL)+n(SP)-n(KL\cap SP)\\ =5\times 8\times 7+8\times 4\times 7-5\times 4\times 7\\ =280+224-140\\ =464\text{ cara }\end{array}$$

1. Ada 7 jalan kaki dari kota A ke kota B dan 5 jalan kaki dari kota B ke kota C. Ada berapa banyak carakah seseorang dapat melakukan perjalanan menggunakan jalan kaki jika:

• dari kota A ke kota C melalui kota B
• pergi-pulang dari kota A ke kota C melalui kota B
• pergi-pulang dari kota A ke kota C melalui kota B jika ia tidak menggunakan jalan kaki yang sama lebih dari sekali

Jawaban

$$\begin{array}{c}\ast 7\cdot 5=35\text{ cara}\\ \ast 7\cdot 5\cdot 5\cdot 7=1,225\text{ cara}\\ \ast 7\cdot 5\cdot 4\cdot 6=840\text{ cara}\end{array}$$

1. Ada 2 jalan kaki dari kota A ke kota B dan 3 jalan kaki dari kota B ke D. Ada 4 jalan kaki dari kota A ke kota C dan 2 jalan kaki dari kota C ke kota D serta 5 jalan kaki dari B ke kota C. Ada berapa banyak carakah seseorang dapat melakukan perjalanan menggunakan jalan kaki jika dari kota A ke kota D?

Jawaban

$$\begin{array}{c}\ast 2\cdot 5\cdot 2+4\cdot 5\cdot 3=80\text{ cara}\end{array}$$

1. Dua orang pergi ke stadion. Stadion memiliki 3 pintu. untuk pintu masuk dengan cara yang sama tetapi yang keluar harus cara yang berbeda maka ada berapa cara mereka bisa pintu masuk dan keluar di stadion tersebut?

untuk pintu masuk ada 3 cara

untuk pintu keluar karena cara yang berbeda jadi dia tidak boleh keluar pintu yang sama pada waktu masuk jadi $P_2^3=\frac{3!}{1!}=3\cdot 2\cdot 1=6$

jadi totalnya 3x6 = 18 cara

Kombinasi

berulangan

rumus: $C_r^n=\frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}$

contoh soal

1. Kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donat itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Berapa banyak cara jika kamu ingin membeli tiga donat?

Jawaban

$$\begin{array}{c}{C}_3^{10}=\frac{(10+3-1)!}{3!(10-1)!}=\frac{12!}{3!9!}\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9!}{3!9!}=220\text{ cara}\end{array}$$

tanpa berulangan

rumus: $C_r^n=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

contoh soal

1. Kamu mempunyai 5 pensil dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua warna pensil. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan warna pensil yang ada?

Jawaban

$$\begin{array}{c}{C}_2^5=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!3!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{2!3!}=10\text{ cara}\end{array}$$

1. Kamu mempunyai 2 warna pensil merah, 3 kuning dan 4 hijau. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa tiga warna pensil. Ada berapa banyak cara terambil jika

• semua warna pensilnya?
• semua warna pensilnya adalah hijau?
• salah satu warna pensilnya adalah hijau?

Jawaban

$$\begin{array}{c}\ast C_3^9=\frac{9!}{3!(9-3)!}=\frac{9!}{3!6!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{3!6!}=84\text{ cara}\\ \ast C_3^4=\frac{4!}{3!(4-3)!}=\frac{4!}{3!1!}=\frac{4\times 3!}{3!1!}=4\text{ cara}\\ \ast C_1^4\times C_2^5=\frac{4!}{1!(4-1)!}\times \frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{4!}{1!3!}\times \frac{5!}{2!3!}=\frac{4\times 3!}{1!3!}\times \frac{5\times 4\times 3!}{2!3!}=4\times 10=40\text{ cara}\end{array}$$

1. Tuti mempunyai 3 kelereng putih, 2 kelereng cokelat dan 5 kelereng biru. Ada berapa banyak cara jika

• memiliki 3 kelereng?
• hanya memiliki 1 kelereng putih dan 2 kelereng biru?

Jawaban

$$\begin{array}{c}\ast C_3^{10}=\frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!7!}=\frac{10\times 9\times 8\times 7!}{3!7!}=120\text{ cara}\\ \ast C_1^3\times C_2^5=\frac{3!}{1!(3-1)!}\times \frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{3!}{1!2!}\times \frac{5!}{2!3!}=\frac{3\times 2!}{1!2!}\times \frac{5\times 4\times 3!}{2!3!}=3\times 10\\ =30\text{ cara}\end{array}$$

1. Di dalam suatu laci terdapat tujuh pasang kaos kaki yang pasangnya berbeda dengan pasangan lainnya. Diambil lima kaos kaki sekaligus secara acak. Berapa banyaknya cara pengambilan di antara yang terambil terdapat tepat sepasang kaos kaki yang berpasangan (cocok)?

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{7 pasang kaos kaki berbeda = 14 kaos kaki. }\\ \text{diambil 5 kaos kaki sekaligus. }\\ \text{terdapat tepat 1 pasang }& =C_1^7=7\\ \text{3 kaos kaki diambil dari 6 }& =C_3^6=20\\ \text{jenis kaos kaki kanan/kiri }& =2^3=8\\ \text{banyaknya cara pengambilan }7\times 20\times 8=1.120\text{ cara }\end{array}$$

1. Diketahui 7 titik A, B, C, D, E, ..., G dan tidak ada titik yang segaris. Tentukan:

• Banyaknya segitiga yang dapat dibuat?
• Banyaknya segitiga yang mempunyai titik A sebagai titik sudut?

Jawaban

$$\begin{array}{c}\ast C_3^7=\frac{7!}{3!(7-3)!}=\frac{7!}{3!4!}=\frac{7\times 6\times 5\times 4!}{3!4!}=35\text{ cara}\\ \ast C_2^6=\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{6!}{2!4!}=\frac{6\times 5\times 4!}{2!4!}=15\text{ cara}\end{array}$$

1. Diketahui tempat penginapan terdiri dari 2 kamar berisi 2 orang dan 3 kamar berisi 2 orang maka berapa cara 8 orang menempati kamar masing-masing?

Jawaban

$$\begin{array}{c}{C}_1^8\times C_1^7\times C_2^6\times C_2^4\times C_2^2=\frac{8!}{1!(8-1)!}\times \frac{7!}{1!(7-1)!}\times \frac{6!}{2!(6-2)!}\times \frac{4!}{2!(4-2)!}\times \frac{2!}{2!(2-2)!}=\frac{8!}{1!7!}\times \frac{7!}{1!6!}\times \frac{6!}{2!4!}\times \frac{4!}{2!2!}\times \frac{2!}{2!0!}=\frac{8\times 7!}{1!7!}\times \frac{7\times 6!}{1!6!}\times \frac{6\times 5\times 4!}{2!4!}\times \frac{4\times 3\times 2!}{2!2!}\times \frac{2!}{2!0!}=8\times 7\times 15\times 6\times 1=5.040\text{ cara}\end{array}$$

Jenis-jenis permutasi

jenis-jenis permutasi yaitu

• Permutasi-k dari n benda

$P_k^n=\frac{n!}{(n-k)!}$

• permutasi identik

$P_{k1,k2,\dots ,kt}^n=\frac{n!}{k1!k2!\dots kt!}$

contoh soal

1. Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “KAKAO"?

Jawaban

$$\begin{array}{c}\frac{5!}{2!2!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2!}{2!2!}=30\text{ cara}\end{array}$$

1. Berapa banyak angka yang terbentuk dari angka “2, 5, 5, 8, 9”?

Jawaban

$$\begin{array}{c}\frac{5!}{2!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2!}{2!}=60\text{ cara}\end{array}$$

• permutasi elemen

$P_n^n=n!$

1. Ada berapa cara bila 6 orang remaja menempati tempat duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur (sejajar) jika:

• Bebas
• Dua orang harus berdampingan (orang A bersebelahan dengan orang B)
• Hanya dua orang diundang
• Dua orang berjabat tangan kecuali seorang memiliki satu orang tersebut adalah pasangannya masing-masing

cara model

• bebas
• A,B,x,x,x,x dan B,A,x,x,x,x
• seorang menjabat lima orang lain. diikuti orang lain dengan cara yang sama
• seorang menjabat lima orang lain. diikuti orang lain dengan cara yang sama tetapi dua orang masing-masing adalah pasangan masing-masing

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\ast 6!& =720\text{ cara}\\ \ast 2!\cdot ((6-2)+1)!& =2!\cdot (4+1)!=2\cdot 5!=240\text{ cara}\\ \ast P_2^6& =\frac{6!}{(6-2)!}=\frac{6!}{4!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{4!}=30\text{ cara}\\ \ast P_2^6-3=\frac{6!}{(6-2)!}-3& =\frac{6!}{4!}-3=\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{4!}-3=30-3=27\text{ cara}\end{array}$$

1. Ada 4 pria dan 4 wanita sedang berdiri berjajar. Ada berapa cara jika:

• Bebas
• Hanya pria berdampingan/berkelompok
• Pria dan wanita harus berdampingan/berkelompok
• Pria dan wanita harus selang seling
• Pria duduk di ujungnya (tepi atau pinggir)

cara model

• bebas
• (LLLL)PPPP, P(LLLL)PPP, PP(LLLL)PP, PPP(LLLL)P dan PPPP(LLLL)
• (LLLL)(PPPP) dan (PPPP)(LLLL)
• LPLPLPLP dan PLPLPLPL
• LxxxxxxL

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\ast 8!& =40,320\text{ cara}\\ \ast 4!\cdot ((8-4)+1)!& =4!\cdot (4+1)!=2,880\text{ cara}\\ \ast 4!\cdot 4!\cdot (0+2)!& =1,152\text{ cara}\\ \text{karena jumlah pria dan wanita sama. jadi ada 2 kemungkinan }\\ \ast 4!\cdot 4!\cdot 2& =1,152\text{ cara}\\ \ast C_2^4\cdot 6!& =\frac{4!}{2!2!}6!=\frac{4\cdot 3\cdot 2!}{2!2\cdot 1}6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=4,320\text{ cara}\end{array}$$

1. Ada 4 pria dan 3 wanita sedang duduk berjajar. Ada berapa cara jika:

• Bebas
• Hanya pria berdampingan/berkelompok
• Pria dan wanita harus berdampingan/berkelompok
• Pria dan wanita harus selang seling
• Pria duduk di ujungnya (tepi atau pinggir)

cara model

• bebas
• (LLLL)PPP, P(LLLL)PP, PP(LLLL)P dan PPP(LLLL)
• (LLLL)(PPP) dan (PPP)(LLLL)
• LPLPLPL
• LxxxxxL

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\ast 7!& =5,040\text{ cara}\\ \ast 4!\cdot ((7-4)+1)!& =4!\cdot (3+1)!=576\text{ cara}\\ \ast 4!\cdot 3!\cdot (0+2)!& =288\text{ cara}\\ \text{karena jumlah pria dan wanita berbeda. jadi ada 1 kemungkinan }\\ \ast 4!\cdot 3!& =144\text{ cara}\\ \ast C_2^4\cdot 5!& =\frac{4!}{2!2!}5!=\frac{4\cdot 3\cdot 2!}{2!2\cdot 1}5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720\text{ cara}\end{array}$$

1. Ada tiga balon yaitu 3 buah merah, 2 putih dan 4 biru. Berapa banyak cara jika:

• bebas
• disusun secara teratur dalam satu baris dan sejenis
• warna putih harus ditengah dua warna yang lain secara berkelompok masing-masing
• hanya warna biru berkelompok
• semua warna berkelompok masing-masing

cara model

• bebas
• ?
• MMM(PP)BBBB atau BBBB(PP)MMM
• (BBBB)xxxxx, x(BBBB)xxxx, xx(BBBB)xxx, xxx(BBBB)xx, xxxx(BBBB)x dan xxxxx(BBBB)
• (BBBB)(MMM)(PP), (BBBB)(PP)(MMM), (PP)(BBBB)(MMM), (PP)(MMM)(BBBB), (MMM)(BBBB)(PP), (MMM)(PP)(BBBB)

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\ast 9!& =362,880\text{ cara}\\ \ast \frac{9!}{3!2!4!}& =1,260\text{ cara}\\ \ast 2\cdot \frac{2!7!}{2!3!4!}& =70\text{ cara}\\ \ast 4!\cdot ((3+2)+1)!& =17,820\text{ cara}\\ \ast 4!\cdot 3!\cdot 2!\cdot (0+3)!& =1,728\text{ cara}\end{array}$$

1. Ada tiga bendera yaitu 4 buah merah, 2 putih dan 5 biru. Berapa banyak cara jika:

• bebas
• disusun secara teratur dalam satu baris dan sejenis
• bendera putih harus ditengah dua bunga warna yang lain secara berkelompok masing-masing
• hanya bendera biru berkelompok
• semua bendera berkelompok masing-masing

cara model

• bebas
• ?
• MMMM(PP)BBBBB atau BBBBB(PP)MMMM
• (BBBBB)xxxxxx, x(BBBBB)xxxxx, xx(BBBBB)xxxx, xxx(BBBBB)xxx, xxxx(BBBBB)xx, xxxxx(BBBBB)x dan xxxxxx(BBBBB)
• (BBBBB)(MMMM)(PP), (BBBBB)(PP)(MMMM), (PP)(BBBBB)(MMMM), (PP)(MMMM)(BBBBB), (MMMM)(BBBBB)(PP), (MMMM)(PP)(BBBBB)

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\ast 11!& =39,916,800\text{ cara}\\ \ast \frac{11!}{4!2!5!}& =6,930\text{ cara}\\ \ast 2\cdot \frac{2!9!}{2!4!5!}& =252\text{ cara}\\ \ast 5!\cdot ((4+2)+1)!& =604,800\text{ cara}\\ \ast 5!\cdot 4!\cdot 2!\cdot (0+3)!& =34,560\text{ cara}\end{array}$$

1. Saya memiliki 5 buku kimia, 3 buku matematika, dan 2 buku fisika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain (judul buku dibedakan). Buku-buku tersebut akan saya susun dalam sebuah rak buku dalam satu baris. Berapa banyak cara penyusunan yang mungkin saya lakukan jika:

• bebas
• disusun secara teratur dalam buku sejenis (tanpa judul buku dibedakan)
• Hanya buku kimia berkelompok
• Semua buku berkelompok masing-masing

cara model

• bebas
• ?
• (KKKKK)xxxxx, x(KKKKK)xxxx, xx(KKKKK)xxx, xxx(KKKKK)xx, xxxx(KKKKK)x, xxxxx(KKKKK)
• (KKKKK)(MMM)(FF), (KKKKK)(FF)(MMM), (MMM)(KKKKK)(FF), (MMM)(FF)(KKKKK), (FF)(KKKKK)(MMM), (FF)(MMM)(KKKKK)

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\ast 10!& =3,628,800\text{ cara}\\ \ast \frac{10!}{5!3!2!}& =2,520\text{ cara}\\ \ast 5!\cdot ((3+2)+1)!& =86,400\text{ cara}\\ \ast 5!\cdot 3!\cdot 2!\cdot (0+3)!& =8,640\text{ cara}\end{array}$$

• permutasi siklis

$P=(n-1)!$

contoh soal

1. Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah sepuluh mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja (melingkar) tersebut jika:

• Bebas
• Dua orang harus berdampingan (orang A bersebelahan dengan orang B)
• Hanya dua orang diundang
• Dua orang berjabat tangan kecuali seorang memiliki satu orang tersebut adalah pasangannya masing-masing

cara model

• bebas tapi hanya seorang tidak boleh pindah
• A,B,x,x,x,x dan B,A,x,x,x,x
• seorang mengundang lima orang lain. diikuti orang lain dengan cara yang sama
• seorang menjabat lima orang lain. diikuti orang lain dengan cara yang sama tetapi dua orang masing-masing adalah pasangan masing-masing

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\ast (10-1)!& =362,880\text{ cara}\\ \ast 2!\cdot ((10-2)-1)!& =2!\cdot (8-1)!=10,080\text{ cara}\\ \ast P_2^{(10-1)}=P_2^9& =\frac{9!}{(9-2)!}=\frac{9!}{7!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7!}{7!}=72\text{ cara}\\ \ast P_2^{(10-1)}-5=P_2^9-5& =\frac{9!}{(9-2)!}-5=\frac{9!}{7!}-5=\frac{9\cdot 8\cdot 7!}{7!}-5=72-5=67\text{ cara}\end{array}$$

1. Ada 4 pria dan 4 wanita sedang berdiri dengan cara bentuk lingkaran. Ada berapa cara jika:

• Bebas
• Hanya pria berdampingan/berkelompok
• Pria dan wanita harus berdampingan/berkelompok
• Pria dan wanita harus selang seling

cara model

• bebas tetapi hanya seorang tidak boleh pindah
• (LLLL)PPPP, P(LLLL)PPP, PP(LLLL)PP, PPP(LLLL)P dan PPPP(LLLL)
• (LLLL)(PPPP) dan (PPPP)(LLLL)
• LPLPLPLP dan PLPLPLPL

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\ast (8-1)!& =5,040\text{ cara}\\ \ast 4!\cdot ((8-4-1)+1)!& =4!\cdot (3+1)!=576\text{ cara}\\ \ast (4-1)!\cdot 4!+4!\cdot (4-1)!& =3!\cdot 4!+4!\cdot 3!=288\text{ cara}\\ \text{karena jumlah pria dan wanita sama. jadi ada 2 kemungkinan }\\ \ast (4-1)!\cdot 4!+4!\cdot (4-1)!& =3!\cdot 4!+4!\cdot 3!=288\text{ cara}\end{array}$$

1. Ada 4 pria dan 3 wanita sedang duduk di meja bundar. Ada berapa cara jika:

• Bebas
• Hanya pria berdampingan/berkelompok
• Pria dan wanita harus berdampingan/berkelompok
• Pria dan wanita harus selang seling

cara model

• bebas tetapi hanya seorang tidak boleh pindah
• (LLLL)PPP, P(LLLL)PP, PP(LLLL)P dan PPP(LLLL)
• (LLLL)(PPP) dan (PPP)(LLLL)
• LPLPLPL

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\ast (7-1)!& =720\text{ cara}\\ \ast 4!\cdot ((7-4-1)+1)!& =4!\cdot (2+1)!=144\text{ cara}\\ \ast (4-1)!\cdot 3!+3!\cdot (4-1)!& =72\text{ cara}\\ \text{karena jumlah pria dan wanita berbeda. jadi ada 1 kemungkinan }\\ \ast (4-1)!\cdot 3!& =36\text{ cara}\end{array}$$

tambahan dari kombinasi

1. Ada berapa cara 100 orang bersalaman sebanyak satu kali?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\ast C_2^{100}=\frac{100!}{2!\times (100-2)!}& =\frac{100!}{2!\times 98!}\\ & =\frac{100\times 99\times 98!}{2\times 1\times 98!}\\ & =\frac{100\times 99}{2}\\ & =50\times 99\\ & =4,950\text{ cara}\end{array}$$

atau

• $\frac{100\times (100-1)}{2}=4,950\text{ cara}$

1. Berapa banyak diagonal pada dekagon?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\ast C_2^{10}-10=\frac{10!}{2!\times (10-2)!}-10& =\frac{10!}{2!\times 8!}-10\\ & =\frac{10\times 9\times 8!}{2\times 1\times 8!}-10\\ & =\frac{10\times 9}{2}-10\\ & =5\times 9-10\\ & =45-10\\ & =35\text{ cara}\end{array}$$

atau

• $\frac{10\times (10-3)}{2}=35\text{ cara}$

1. Tersedia 20 kunci berbeda dan hanya terdapat 1 kunci yang dapat digunakan untuk membuka sebuah pintu. Kunci diambil satu persatu tanpa pengembaliann. Berapa peluang kunci yang terambil dapat digunakan untuk membuka pintu pada pengambilan keempat?

Misalkan B menyatakan kunci yang benar dan S menyatakan kunci yang salah. Terdapat 20 kunci, 19 kunci S dan 1 kunci B. Kunci benar terambil pada pengambilan keempat artinya kejadiannya,
SSSB
Peluang,
(19/20)(18/19)(17/18)(1/17) = 1/20