Soal-Soal Matematika/Fungsi transformasi

Fungsi asal f(x)

vertikal (sumbu x, y=a) dan horisontal (sumbu y, x=a)

Translasi

Translasi vertikal (y=a) atau (0,a)

(x,y) -> (x,y+a)

maka fungsi bayangan y= f(x)+a

Jika y=a maka bergeser ke atas sejauh a satuan sedangkan y=-a bergeser ke bawah sejauh a satuan

Translasi horisontal (x=a) atau (a,0)

(x,y) -> (x+a,y)

maka fungsi bayangan y= f(x+a)

Jika x=a maka bergeser ke kiri sejauh a satuan sedangkan x=-a bergeser ke kanan sejauh a satuan

Refleksi

Refleksi vertikal (y=-1)

(x,y) -> (x,-y)

maka fungsi bayangan y= -f(x)

Jika y=-1 maka bergeser ke bawah

Refleksi horisontal (x=-1)

(x,y) -> (-x,y)

maka fungsi bayangan y= f(-x)

Jika x=-1 maka bergeser ke kiri

Dilatasi

Dilatasi vertikal (y=k)

maka fungsi bayangan y= kf(x)

Jika k>1 maka diperbesar sedangkan 0<k<1 maka diperkecil

Dilatasi horisontal (x=k)

maka fungsi bayangan y= f(kx)

Jika k>1 maka diperbesar sedangkan 0<k<1 maka diperkecil

Rotasi

untuk rotasi dapat dilihat dari matriks transformasi

contoh soal

1. fungsi parabola f(x) = x²-4x-5. tentukan:

• translasi vertikal ke atas 5 satuan
• translasi horisontal ke kiri 7 satuan
• refleksi vertikal (sumbu y)
• refleksi horisontal (sumbu x)
• dilatasi vertikal dengan faktor skala 4 dan titik pusat O
• dilatasi horisontal dengan faktor skala 2 dan titik pusat O
• rotasi sejauh 90° berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat O
• rotasi sejauh 90° searah jarum jam dengan titik pusat O

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\ast y& =f(x)+a\\ & =x^2-4x-5+5\\ & =x^2-4x\\ \ast y& =f(x+a)\\ & =(x+7{)}^2-4(x+7)-5\\ & =x^2+14x+49-4x-28-5\\ & =x^2+10x+16\\ \ast y& =-f(x)\\ & =-(x^2-4x-5)\\ & =-x^2+4x+5\\ y& =f(-x)\\ & =(-x{)}^2-4(-x)-5\\ & =x^2+4x-5\\ \ast y& =kf(x)\\ & =4(x^2-4x-5)\\ & =4x^2-16x-20\\ \ast y& =f(kx)\\ & =(\frac{1}{2}x{)}^2-4(\frac{1}{2}x)-5\\ & =\frac{x^2}{4}-2x-5\end{array}$$

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}cos90^{\circ }& -sin90^{\circ }\\ sin90^{\circ }& cos90^{\circ }\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}-y\\ x\end{array}\right]\\ x^{\prime }=-y& \text{ dan }{y}^{\prime }=x\\ y& =-x^{\prime }\\ x& =y^{\prime }\\ y& =x^2-4x-5\\ -x^{\prime }& =y{\text{'}}^2-4(y^{\prime })-5\\ & =y{\text{'}}^2-4y^{\prime }-5\\ & =y{\text{'}}^2-4y^{\prime }+4-9\\ & =(y^{\prime }-2{)}^2-9\\ (y^{\prime }-2{)}^2& =-x^{\prime }+9\\ y^{\prime }& =\sqrt{9-x^{\prime }}+2\end{array}$$

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}cos(-90{)}^{\circ }& -sin(-90{)}^{\circ }\\ sin(-90{)}^{\circ }& cos(-90{)}^{\circ }\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}y\\ -x\end{array}\right]\\ x^{\prime }=y& \text{ dan }{y}^{\prime }=-x\\ y& =x^{\prime }\\ x& =-y^{\prime }\\ y& =x^2-4x-5\\ x^{\prime }& =(-y^{\prime }{)}^2-4(-y^{\prime })-5\\ & =y{\text{'}}^2+4y^{\prime }-5\\ & =y{\text{'}}^2+4y^{\prime }+4-9\\ & =(y^{\prime }+2{)}^2-9\\ (y^{\prime }+2{)}^2& =x^{\prime }+9\\ y^{\prime }& =\sqrt{x^{\prime }+9}-2\end{array}$$