Soal-Soal Matematika/Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri hanya mencakup fungsi sinus dan fungsi kosinus saja

untuk fungsi sinus f(x) = sin x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°.

untuk fungsi kosinus f(x) = cos x memiliki batasan nilainya yaitu -1 ≤ f(x) ≤ 1 dengan 0° ≤ x ≤ 360°.

Contoh soal

tentukan batasan nilai fungsi trigonometri sebagai berikut:

1. f(x) = 4-3 sin x dengan 0° ≤ x ≤ 360°
2. g(a) = -2+5 cos a dengan 0° ≤ a ≤ 360°
3. h(y) = -5-2 | sin y | dengan 0 ≤ y ≤ 2π
4. l(m) = 3+7 | cos m | dengan 0 ≤ m ≤ 2π
5. p(b) = $\frac{1}{4-7sinb}$ dengan 0 ≤ b ≤ 2π
6. q(d) = $\frac{3}{-1+2cosd}$ dengan 0° ≤ a ≤ 360°

Jawaban

$$\begin{array}{c}\ast \\ :\text{cara 1}\\ f(x)=4-3sinx\\ \text{ batasan nilai sin yaitu }-1\le sinx\le 1\\ -1\le sinx\le 1\\ 3\le -3sinx\le -3\\ -3\le -3sinx\le 3\\ 1\le 4-3sinx\le 7\\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 }\\ :\text{cara 2}\\ f(x)=4-3sinx\\ \text{harus diubah menjadi }sinx=\frac{f(x)-4}{-3}\\ \text{ batasan nilai sin yaitu }-1\le sinx\le 1\\ -1\le sinx\le 1\\ -1\le \frac{f(x)-4}{-3}\le 1\\ 3\le f(x)-4\le -3\\ -3\le f(x)-4\le 3\\ 1\le f(x)\le 7\\ \text{ nilai minimum adalah 1 dan maksimum 7 }\\ \ast \\ :\text{cara 1}\\ g(a)=-2+5cosa\\ \text{ batasan nilai cos yaitu }-1\le cosa\le 1\\ -1\le cosa\le 1\\ -5\le 5cosa\le 5\\ -7\le -2+5cosa\le 3\\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 }\\ :\text{cara 2}\\ g(a)=-2+5cosa\\ \text{harus diubah menjadi }cosa=\frac{g(a)+2}{5}\\ \text{ batasan nilai sin yaitu }-1\le cosa\le 1\\ -1\le cosa\le 1\\ -1\le \frac{g(a)+2}{5}\le 1\\ -5\le g(a)+2\le 5\\ -7\le g(a)\le 3\\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum 3 }\\ \ast \\ :\text{cara 1}\\ h(y)=-5-2|siny|\\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu }0\le |siny|\le 1\\ 0\le |siny|\le 1\\ 0\le -2|siny|\le -2\\ -2\le -2|siny|\le 0\\ -7\le -5-2|siny|\le -5\\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 }\\ :\text{cara 2}\\ h(y)=-5-2|siny|\\ \text{harus diubah menjadi }|siny|=\frac{h(y)+5}{-2}\\ \text{ batasan nilai sin multak yaitu }0\le |siny|\le 1\\ 0\le |siny|\le 1\\ 0\le \frac{h(y)+5}{-2}\le 1\\ 0\le h(y)+5\le -2\\ -5\le h(y)\le -7\\ -7\le h(y)\le -5\\ \text{ nilai minimum adalah -7 dan maksimum -5 }\\ \ast \\ :\text{cara 1}\\ l(m)=3+7|cosm|\\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu }0\le |cosm|\le 1\\ 0\le |cosm|\le 1\\ 0\le 7|cosm|\le 7\\ 3\le 3+7|cosm|\le 10\\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 }\\ :\text{cara 2}\\ l(m)=3+7|cosm|\\ \text{harus diubah menjadi }|cosm|=\frac{l(m)-3}{7}\\ \text{ batasan nilai cos multak yaitu }0\le |cosm|\le 1\\ 0\le |cosm|\le 1\\ 0\le \frac{l(m)-3}{7}\le 1\\ 0\le l(m)-3\le 7\\ 3\le l(m)\le 10\\ \text{ nilai minimum adalah 3 dan maksimum 10 }\\ \ast \\ :\text{cara 1}\\ p(b)=\frac{1}{4-7sinb}\\ \text{ batasan nilai sin yaitu }-1\le sinb\le 1\\ \text{ jika nilai sin adalah -1 maka}\frac{1}{4-7(-1)}& =\frac{1}{11}\\ \text{ jika nilai sin adalah 1 maka}\frac{1}{4-7(1)}& =-\frac{1}{3}\\ \text{ nilai minimum adalah }-\frac{1}{3}\text{ dan maksimum }\frac{1}{11}\\ :\text{cara 2}\\ p(b)=\frac{1}{4-7sinb}\\ \text{ batasan nilai sin yaitu }-1\le sinb\le 1\\ -1\le sinb\le 1\\ 7\le -7sinb\le -7\\ -7\le -7sinb\le 7\\ -3\le 4-7sinb\le 11\\ -3\le 4-7sinb\le 11\\ -\frac{1}{3}\le \frac{1}{4-7sinb}\le \frac{1}{11}\\ \text{ nilai minimum adalah }-\frac{1}{3}\text{ dan maksimum }\frac{1}{11}\\ :\text{cara 3}\\ p(b)=\frac{1}{4-7sinb}\\ \text{harus diubah menjadi }sinb=\frac{1}{7p(b)}-\frac{4}{7}\\ \text{ batasan nilai sin yaitu }-1\le sinb\le 1\\ -1\le sinb\le 1\\ -1\le \frac{1}{7p(b)}-\frac{4}{7}\le 1\\ -7\le \frac{1}{p(b)}-4\le 7\\ -3\le \frac{1}{p(b)}\le 11\\ -\frac{1}{3}\le p(b)\le \frac{1}{11}\\ \text{ nilai minimum adalah }-\frac{1}{3}\text{ dan maksimum }\frac{1}{11}\\ \ast \\ :\text{cara 1}\\ q(d)=\frac{3}{-1+2cosd}\\ \text{ batasan nilai cos yaitu }-1\le cosd\le 1\\ \text{ jika nilai cos adalah -1 maka }\frac{3}{-1+2(-1)}& =-1\\ \text{ jika nilai cos adalah 1 maka}\frac{3}{-1+2(1)}& =3\\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 }\\ :\text{cara 2}\\ q(d)=\frac{3}{-1+2cosd}\\ \text{ batasan nilai cos yaitu }-1\le cosd\le 1\\ -1\le cosd\le 1\\ -2\le 2cosd\le 2\\ -3\le -1+2cosd\le 1\\ -\frac{1}{3}\le \frac{1}{-1+2cosd}\le 1\\ -1\le \frac{3}{-1+2cosd}\le 3\\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 }\\ :\text{cara 3}\\ q(d)=\frac{3}{-1+2cosd}\\ \\ \text{harus diubah menjadi }cosd=\frac{3}{2q(d)}+\frac{1}{2}\\ \text{ batasan nilai cos yaitu }-1\le cosd\le 1\\ -1\le cosd\le 1\\ -1\le \frac{3}{2q(d)}+\frac{1}{2}\le 1\\ -2\le \frac{3}{q(d)}+1\le 2\\ -3\le \frac{3}{q(d)}\le 1\\ -1\le \frac{1}{q(d)}\le \frac{1}{3}\\ -1\le q(d)\le 3\\ \text{ nilai minimum adalah -1 dan maksimum 3 }\end{array}$$

buatlah menjadi fungsi trigonometri jika memiliki batasan nilai sebagai berikut:

1. fungsi f(x)= a sin x + b memiliki nilai minimum -2 dan maksimum 6
2. fungsi f(x)= a - b cos x memiliki nilai minimum 2 dan maksimum 12

Jawaban

$$\begin{array}{c}\ast \\ f(x)& =asinx+b\\ f(x{)}_{min}& =-2=-a+b\\ f(x{)}_{max}& =6=a+b\\ \text{ nilai a dan b adalah -4 dan 6 }\\ \text{ jadi fungsinya adalah -4 sin x + 6 }\\ \ast \\ f(x)& =a-bcosx\\ f(x{)}_{min}& =2=a+b\\ f(x{)}_{max}& =12=a-b\\ \text{ nilai a dan b adalah 7 dan 5 }\\ \text{ jadi fungsinya adalah 7 - 5 cos x }\end{array}$$