Soal-Soal Matematika/Fungsi

Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B yaitu n(B)^n(A) untuk seluruh fungsinya.

Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B dalam fungsi bijektif yaitu n(n-1).

Sifat fungsi yaitu:

1. Fungsi surjektif (fungsi onto atau fungsi kepada).

rumusnya: dari A ke B maka hasilnya B^A.

contoh: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 4, 6} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,6)}

1. 1. Buktikan f(x)=x²-4 dengan batas-batas -3<x<3 merupakan fungsi surjektif!

Misalkan x = -2 maka y = 0, x = -1 maka y = -3 jadi sebagai berikut: HP = {(-2,0), (-1,-3), (0,-4), (1,-3), (2,0)}

Dalam tersebut adalah fungsi surjektif.

1. Fungsi injektif (fungsi into atau fungsi ke dalam)

contoh: A = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6)}

1. 1. Buktikan f(x)=3x dengan batas-batas -3<x<3 serta -9<y<=12 merupakan fungsi injektif!

Misalkan x = -2 maka y = -6, x = -1 maka y = -3 jadi sebagai berikut: HP = {(-2,-6), (-1,-3), (0,0), (1,3), (2,6)} (tapi untuk 3 bagi 9 itu tidak ada karena x harus kurang dari 3)

Dalam tersebut adalah fungsi injektif.

1. Fungsi bijektif (fungsi satu-satu atau korespondensi satu-satu)

rumusnya: Banyaknya n untuk A dan B: n!.

contoh: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)}

1. 1. Buktikan f(x)=1/2x dengan batas-batas 1<x<7 merupakan fungsi bijektif!

Misalkan x = 2 maka y = 1/4, x = 3 maka y = 1/6 jadi sebagai berikut: HP = {(2,1/4), (3,1/6), (4,1/8), (5,1/10), (6,1/12)}

Dalam tersebut adalah fungsi bijektif.

1. Bukan Fungsi surjektif dan injektif

contoh: A = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 6, 8} maka HP = {(1,2), (2,4), (3,4)}

Dalam pembuktian sebagai berikut:

f:A -> B : x -> y

Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat surjektif maka ∀y ∈ B, ∃x ∈ A, y = f(x).

Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat injektif maka ∀p,q ∈ A, f(p) = f(q) ⟹ p = q.

Kalau membuktikan bahwa f(x) bersifat bijektif maka memiliki fungsi surjektif dan injektif sekaligus.

contoh

1. Apakah f:R -> R : x -> x³ merupakan fungsi bijektif?

Membuktikan f(x) merupakan fungsi surjektif

Ambil sembarangan y ∈ B

y = x³

x = $\sqrt[3]{y}$ ∈ R

maka terbukti f(x) tersebut adalah fungsi surjektif.

Membuktikan f(x) merupakan fungsi injektif

Misalkan f(p) = f(q) dimana p,q ∈ R

p³ = q³

$\sqrt[3]{(p{)}^3}$ = $\sqrt[3]{(q{)}^3}$

p = q

maka terbukti f(x) tersebut adalah fungsi injektif.

karena f(x) terbukti merupakan fungsi surjektif dan injektif jadi f(x) merupakan fungsi bijektif.

operasi aritmetika fungsi

• f(x)+g(x) = (f+g) x
• f(x)-g(x) = (f-g) x
• f(x).g(x) = (f.g) x
• $\frac{f(x)}{g(x)}=(\frac{f}{g})x$

bentuk fungsi lain

Domain disebut daerah asal sedangkan kodomain atau range disebut daerah hasil

Beberapa fungsi-fungsi sebagai berikut:

1. Fungsi linear

contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = 5x+2!

daerah asal: $HP=x|-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty },x\in R$
daerah hasil: $HP=y|-\mathrm{\infty }<y<\mathrm{\infty },y\in R$

1. Fungsi kuadrat

Sumbu simetri dan harga ekstrem/titik balik

fungsi kuadrat $y=a{x}^2+bx+c$

persamaan fungsi kuadrat sebagai berikut:

y = a(x-x₁)(x-x₂)

y = a(x-x_p)²+y_p

sumbu simetri adalah x = $-\frac{b}{2a}$, nilai maksimum/minimum adalah $-\frac{D}{4a}$ serta titik puncak/titik balik adalah $(-\frac{b}{2a},-\frac{D}{4a})$.

Kriteria akar-akar

	Pernyataan
	D>0	D=0	D<0
a>0 (terbuka ke atas; nilai minimum)	memotong	menyinggung	tidak memotong dan tidak menyinggung
a<0 (terbuka ke bawah; nilai maksimum)

contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = x²+5x+4! cari sumbu simetri x yaitu -b/2a adalah -5/2(1) = -5/2 serta hasil y yaitu (-5/2)²+5(-5/2)+4 = -9/4.

daerah asal: $HP=x|-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty },x\in R$
daerah hasil: $HP=y|y\ge -\frac{9}{4},y\in R$

2 tentukan sumbu simetri dan titik balik dari persamaan y = x²-4x+3!

cara 1

Jawaban

$$\begin{array}{cc}y& =x^2-4x+3\\ x& =-\frac{-4}{2\cdot 1}=2\\ y& =-\frac{(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 3}{4\cdot 1}\\ & =-\frac{4}{4}=-1\end{array}$$

cara 2

Jawaban

$$\begin{array}{cc}y& =x^2-4x+3\\ x& =-\frac{-4}{2\cdot 1}=2\\ y& =2^2-4(2)+3=-1\end{array}$$

cara 3

Jawaban

$$\begin{array}{cc}y& =x^2-4x+3\\ y^{\prime }& =0\\ 2x-4& =0\\ x& =2\\ y& =2^2-4(2)+3=-1\end{array}$$

sumbu simetri x=2 dan titik baliknya (2,-1).

1. agar garis lurus y=x-10 memotong parabola y=x²-(m-1)x+6 maka berapa batasan nilai m serta titik potongnya?

Pembuktian

$$\begin{array}{cc}y& =x-10\\ y& =x^2-(m-1)x+6\\ x-10& =x^2-(m-1)x+6\\ x-10& =x^2-mx+x+6\\ x^2-mx+16& =0\\ \text{syarat memotong yaitu }D>0\\ (-m{)}^2-4(1)(16)& >0\\ m^2-64& >0\\ \text{harga nol }\\ m^2-64& =0\\ (m-8)(m+8)& =0\\ m_1=8& \text{ atau }{m}_2=-8\\ \text{batasan melalui irisan menjadi }m<-8\text{ atau }m>8\\ \text{untuk }{m}_1=8\\ x^2-8x+16& =0\\ (x-4{)}^2& =0\\ x& =4\\ y& =4-10\\ & =-6\\ \text{titik potong adalah (4,6) }\\ \text{untuk }{m}_2=-8\\ x^2+8x+16& =0\\ (x+4{)}^2& =0\\ x& =-4\\ y& =-4-10\\ & =-14\\ \text{titik potong adalah (-4,-16) }\end{array}$$

1. agar garis lurus y=2x-1 menyinggung parabola y=mx²+(m-5)x+8 maka berapa nilai m serta titik singgungnya?

Pembuktian

$$\begin{array}{cc}y& =2x-1\\ y& =m{x}^2+(m-5)x+8\\ 2x-1& =m{x}^2+(m-5)x+8\\ 2x-1& =m{x}^2+mx-5x+8\\ m{x}^2+mx-7x+9& =0\\ m{x}^2+(m-7)x+9& =0\\ \text{syarat menyinggung yaitu }D=0\\ (m-7{)}^2-4(m)(9)& =0\\ m^2-14m+49-36m& =0\\ m^2-50m+49& =0\\ (m-1)(m-49)& =0\\ m_1=1& \text{ atau }{m}_2=49\\ \text{nilainya }m=1\text{ atau }m=49\\ \text{untuk }{m}_1=1\\ x^2-6x+9& =0\\ (x-3{)}^2& =0\\ x& =3\\ y& =2(3)-1\\ & =5\\ \text{titik singgung adalah (3,5) }\\ \text{untuk }{m}_2=49\\ 49x^2+42x+9& =0\\ (7x+3{)}^2& =0\\ x& =-\frac{3}{7}\\ y& =2(-\frac{3}{7})-1\\ & =-\frac{13}{7}\\ \text{titik singgung adalah }(-\frac{3}{7},-\frac{13}{7})\end{array}$$

1. agar garis lurus y=2mx-1 tidak memotong dan tidak menyinggung parabola y=x²-x+3 maka berapa batasan nilai m?

Pembuktian

$$\begin{array}{cc}y& =2mx-1\\ y& =x^2-x+3\\ 2mx-1& =x^2-x+3\\ x^2-2mx-x+4& =0\\ x^2+(-2m-1)x+4& =0\\ \text{syarat tidak memotong dan tidak menyinggung yaitu }D<0\\ (-2m-1{)}^2-4(1)(4)& <0\\ 4m^2+4m+1-16& <0\\ 4m^2+4m-15& <0\\ \text{harga nol }\\ 4m^2+4m-15& =0\\ (2m-3)(2m+5)& =0\\ m_1=\frac{3}{2}& \text{ atau }{m}_2=-\frac{5}{2}\\ \text{batasan melalui irisan menjadi }-\frac{5}{2}<m<\frac{3}{2}\end{array}$$

1. tentukan nilai k dan titik potongnya jika garis lurus y=x+k memotong parabola y=x²-4x+3 yang berabsis 6!

Pembuktian

$$\begin{array}{cc}y& =x^2-4x+3\\ & =6^2-4(6)+3\\ & =15\\ y& =x+k\\ 15& =6+k\\ k& =9\\ y& =x^2-4x+3\\ y& =x+9\\ x+9& =x^2-4x+3\\ x^2-5x-6& =0\\ (x-6)(x+1)& =0\\ x_1=6& \text{ atau }{x}_2=-1\\ \text{untuk }{x}_1=6\\ y& =6+9\\ & =15\\ \text{untuk }{x}_2=-1\\ y& =-1+9\\ & =8\\ \text{titik potongnya adalah (-1,8) dan (6,15) }\end{array}$$

gambar fungsi

	D > 0 Terdapat 2 titik terbuka	D = 0 Terdapat 1 titik terbuka	D < 0 Tidak terdapat titik terbuka
a > 0	Melengkung ke atas dari titik balik
a < 0	Melengkung ke bawah dari titik balik

1. Fungsi akar

contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari $y=\sqrt{2x+1}$!

cari batasan sumbu x yaitu 2x + 1 ≥ 0 adalah x ≥ -1/2.

daerah asal: $HP=x|x\ge -\frac{1}{2},x\in R$
daerah hasil: $HP=y|y\ge 0,y\in R$

1. Fungsi pecahan

contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari $y=\frac{2x+1}{3x-1}$!

daerah asal: $HP=x|x\ne \frac{1}{3},x\in R$
daerah hasil: $HP=y|y\ne \frac{2}{3},y\in R$

2 tentukan daerah asal serta hasil dari $y=\frac{x^2-4x-5}{x^2-x-6}$!

daerah asal: $HP=x|x\ne -2,3,x\in R$
daerah hasil: $HP=y|-\mathrm{\infty }<y<1\text{ v }<1<y<\mathrm{\infty },y\in R$

3 tentukan daerah asal serta hasil dari $y=\frac{x^2+x-20}{2x+3}$!

daerah asal: $HP=x|x\ne -\frac{3}{2},x\in R$
daerah hasil: $HP=y|-\mathrm{\infty }<y<\mathrm{\infty },y\in R$

Pembuatan grafik

fungsi pecahan linear $\frac{ax+b}{px+q}$ dengan p≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. titik potong sumbu x ((-b/a,0))
2. titik potong sumbu y ((0,b/q))
3. asymtot tegak (x=-q/p)
4. asymtot datar (y=a/p)
5. titik-titik lainnya

fungsi pecahan kuadrat $\frac{a{x}^2+bx+c}{p{x}^2+qx+r}$ dengan {a,p}≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. titik potong sumbu x (ax²+bx+c=0)
2. titik potong sumbu y ((0,c/r))
3. asymtot tegak (px²+qx+r=0)
4. asymtot datar (y=a/p)
5. harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggal cari x nya)
6. titik potong tegak dengan asymtot datar (cari nilai x dimana y adalah asymtot datar)
7. titik-titik lainnya

fungsi pecahan kuadrat linear $\frac{a{x}^2+bx+c}{px+q}$ dengan {a,p}≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. titik potong sumbu x (ax²+bx+c=0)
2. titik potong sumbu y ((0,c/q))
3. asymtot tegak (x=-q/p)
4. asymtot miring (hasil bagi dari pembilang dengan penyebut)
5. harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggal cari x nya)
6. titik-titik lainnya

fungsi pecahan linear kuadrat $\frac{ax+b}{p{x}^2+qx+r}$ dengan p≠0.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. titik potong sumbu x ((-b/a,0))
2. titik potong sumbu y ((0,b/r))
3. asymtot tegak (px²+qx+r=0)
4. asymtot datar (y=0)
5. harga ekstrem/titik balik (cari diskriminan dari persamaan yang bernilai y dimana y sebagai misalnya serta syarat D ≥ 0. kalau y didapat tinggal cari x nya)
6. titik potong tegak dengan asymtot datar (cari nilai x dimana y adalah asymtot datar)
7. titik-titik lainnya

1. Fungsi mutlak

Fungsi mutlak adalah setiap fungsi memiliki aturan nilainya mutlak dan selalu bernilai positif. rumus: $|f(x)|=\{\begin{array}{cc}x& \text{ untuk }x\ge 0\\ -x& \text{ untuk }x<0\end{array}$

contoh soal

1 tentukan daerah asal serta hasil dari y = |2x + 1]!

cari batasan sumbu x yaitu 2x + 1 = 0 adalah 0.

daerah asal: $HP=x|-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty },x\in R$
daerah hasil: $HP=y|y\ge 0,y\in R$

1. Fungsi sepenggal (piecewise)

Fungsi sepenggal adalah setiap fungsi dari daerah hasil memiliki beberapa fungsi dari daerah asal yang berbeda. contoh: $f(x)=\{\begin{array}{cc}2x-3& \text{ untuk }x\ge \frac{3}{2}\\ x& \text{ untuk }x<\frac{3}{2}\end{array}$, $f(x)=\{\begin{array}{cc}cosx& \text{ untuk }x\ge 0\\ sinx& \text{ untuk }x<0\end{array}$

1. Fungsi tangga

Fungsi tangga adalah fungsi yang bernilai konstan pada interval-interval dimana ia didefinisikan. Fungsi tangga terbagi tiga jenis yaitu

1. 1. Fungsi atap

Fungsi atap disebut juga fungsi bilangan bulat terkecil. Dilambangkan sebagai berikut: $f(x)=\lceil x\rceil =\text{atap}(x)$ dan rumus $\lceil x\rceil =minm\in Z,m\ge x$. Contoh: $\lceil 0,8\rceil =1$, $\lceil 2,4\rceil =3$ dan $\lceil -3,5\rceil =-3$

sifat-sifat:

• $\lceil x\rceil =x$ jika x bulat
• $x\le \lceil x\rceil <x+1$
• $\lceil x\rceil =n\text{ maka }n-1<x\le n$
• $n<\lceil x\rceil \text{ maka }n<x$
• $\lceil x\rceil \le n\text{ maka }x\le n$
• $\lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n$
• $\lceil x\rceil +\lceil y\rceil \ge \lceil x+y\rceil$
• $\lceil xy\rceil \ge \lceil x\rceil \cdot \lceil y\rceil$

1. 1. Fungsi lantai

Fungsi lantai disebut juga fungsi bilangan bulat terbesar. Dilambangkan sebagai berikut: $f(x)=\lfloor x\rfloor =\text{lantai}(x)$ dan rumus $\lfloor x\rfloor =maxm\in Z,m\le x$. Contoh: $\lfloor 4,27\rfloor =4$, $\lceil 5,69\rceil =5$ dan $\lfloor -7,5\rfloor =-8$

sifat-sifat:

• $\lfloor x\rfloor =x$ jika x bulat
• $x-1<\lfloor x\rfloor \le x$
• $\lfloor x\rfloor =n\text{ maka }n<x\le n+1$
• $\lfloor x\rfloor <n\text{ maka }n<x$
• $n\le \lfloor x\rfloor \text{ maka }x\le n$
• $\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n$
• $\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \le \lfloor x+y\rfloor$
• $\lfloor xy\rfloor \le \lfloor x\rfloor \cdot \lfloor y\rfloor$

1. 1. Fungsi pembulatan

Dilambangkan sebagai berikut: $f(x)=[x]=\text{int}(x)$. Contoh: [8,2] = 8, [9,7] = 10 dan [10,5] = 11

tambahan;

• x = $\lfloor x\rfloor$+{x}

hubungan fungsi atap dan fungsi lantai

• $x-1<\lfloor x\rfloor \le \lceil x\rceil <x+1$
• $-\lfloor x\rfloor =\lceil -x\rceil$
• $\lfloor -x\rfloor =-\lceil x\rceil$
• $\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor$ = 0 (?) jika x bulat
• $\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor$ = 1 jika x takbulat

1. Fungsi eksponensial

rumus: f(x) = a^x

1. Fungsi logaritma

rumus: f(x) = ^alog x, a>0, x>0, $a\ne 1$

Tambahan soal

• Tentukan hasil nilai dibawah ini!

1. f(1) jika $f(\frac{26}{3^x-1})=\frac{16}{x^2-1}$
2. f(2) jika $f(\sqrt{3^x-5})=log5x$
3. f(10) jika f(6) = 61 serta $f(6)\cdot f(\frac{5}{6})=f(6)+25f(\frac{5}{6})$
4. f(2025) jika $x^{3}f(x)+f(2-x)=3x+3x^4$

1

Jawaban

$$\begin{array}{cc}f(\frac{26}{3^x-1})& =\frac{16}{x^2-1}\\ \text{ anggap bahwa }f(1)& =f(\frac{26}{3^x-1})\\ 1& =\frac{26}{3^x-1}\\ 3^x-1& =26\\ 3^x& =27\\ 3^x& =3^3\\ x& =3\\ \text{ nah x adalah 3 }\\ \frac{16}{x^2-1}& =\frac{16}{3^2-1}\\ & =\frac{16}{8}\\ & =2\\ f(1)& =2\end{array}$$

2

Jawaban

$$\begin{array}{cc}f(\sqrt{3^x-5})& =log5x\\ \text{ anggap bahwa }f(2)& =f(\sqrt{3^x-5})\\ 2& =\sqrt{3^x-5}\\ 3^x-5& =2^2\\ 3^x-5& =4\\ 3^x& =9\\ 3^x& =3^2\\ x& =2\\ \text{ nah x adalah 2 }\\ log5x& =log5(2)\\ & =log10\\ & =1\\ f(2)& =1\end{array}$$

3

Jawaban

$$\begin{array}{cc}f(6)\cdot f(\frac{5}{6})& =f(6)+25f(\frac{5}{6})\\ 61f(\frac{5}{6})& =61+25f(\frac{5}{6})\\ 36f(\frac{5}{6})& =61\\ f(\frac{5}{6})& =\frac{61}{36}\\ f(\frac{5}{6})& =1+\frac{25}{36}\\ f(\frac{5}{6})& =1+\frac{5^2}{6^2}\\ f(\frac{5}{6})& =1+(\frac{5}{6}{)}^2\\ f(x)& =1+x^2\\ f(x)& =1+x^2\\ f(10)& =1+10^2\\ & =101\end{array}$$

4

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{x}^{3}f(x)+f(2-x)& =3x+3x^4\\ \text{jika f(x) adalah f(2025) maka }\\ x^{3}f(2025)+f(-2023)& =3x+3x^4\\ \text{jika f(2-x) adalah f(2025) maka }\\ x^{3}f(-2023)+f(2025)& =3x+3x^4\\ \text{eliminasi untuk kedua persamaan menjadi }\\ x^{6}f(2025)-f(2025)& =(x^3-1)(3x+3x^4)\\ f(2025)(x^6-1)& =(x^3-1)3x(x^3+1)\\ f(2025)(x^6-1)& =3x(x^6-1)\\ f(2025)& =3x\\ f(2025)& =3(2025)\\ f(2025)& =6075\end{array}$$

Fungsi ganjil dan genap

fungsi ganjil apabila f(x) = -f(-x) serta fungsi genap apabila f(x) = f(-x).

contoh soal Apakah fungsi ganjil atau genap sebagai berikut:

• f(x) = x²
• f(x) = x⁷
• f(x) = x² sin x
• f(x) = x² cos 3x

jawaban

• f(x) = x² -> f(-x) = (-x)²

f(-x) = x² = f(x) -> fungsi genap

• f(x) = x⁷ -> f(-x) = (-x)⁷

f(-x) = -x⁷ = f(x) -> fungsi ganjil

• f(x) = x² sin x -> f(-x) = (-x)² sin (-x)

f(-x) = x² (- sin x) = -x² sin x = -f(x) -> fungsi ganjil

• f(x) = x² cos x -> f(-x) = (-x)² cos (-3x)

f(-x) = x² cos x = f(x) -> fungsi genap