Soal-Soal Matematika/Diferensial

Kaidah umum

${\left(cf\right)}^{\prime }=c{f}^{\prime }$

${\left(f+g\right)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$

${\left(f-g\right)}^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }$

Kaidah darab

${\left(fg\right)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

Kaidah timbalbalik

${\left(\frac{1}{f}\right)}^{\prime }=\frac{-f^{\prime }}{f^2},f\ne 0$

Kaidah hasil-bagi

${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2},g\ne 0$

Kaidah rantai

$(f\circ g{)}^{\prime }=(f^{\prime }\circ g)g^{\prime }$

Turunan fungsi invers

$(f^{-1}{)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }\circ f^{-1}}$

untuk setiap fungsi terdiferensialkan f dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada

Kaidah pangkat umum

$(f^g{)}^{\prime }=f^g(g^{\prime }\ln f+\frac{g}{f}{f}^{\prime })$

Rumus sederhana

$c^{\prime }=0$

$x^{\prime }=1$

$(cx{)}^{\prime }=c$

$|x{|}^{\prime }=\frac{x}{|x|}=\mathrm{sgn}x,x\ne 0$

Pembuktian

$$\begin{array}{cc}y& =|x|\\ y^2& =x^2\\ 2y{y}^{\prime }& =2x\\ y^{\prime }& =\frac{x}{y}\\ & =\frac{x}{|x|}\end{array}$$

$(x^c{)}^{\prime }=c{x}^{c-1}\text{baik }{x}^c\text{ maupun }c{x}^{c-1}\text{ terdefinisi}$

${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }={\left(x^{-1}\right)}^{\prime }=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$

${\left(\frac{1}{x^c}\right)}^{\prime }={\left(x^{-c}\right)}^{\prime }=-c{x}^{-(c+1)}=-\frac{c}{x^{c+1}}$

${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }={\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}},x>0$

${\left(x^n\right)}^{\prime }=n\cdot x^{n-1}$

${\left(u^n\right)}^{\prime }=n\cdot u^{\prime }\cdot u^{n-1}$

Eksponen dan logaritma

${\left(c^x\right)}^{\prime }=c^x\ln c,c>0$

${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$

${({}^c\log x)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln c},c>0$

${(\ln x)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

Trigonometri

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$	$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},x\ne \pm 1$
$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$	$(\arccos x{)}^{\prime }=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}},x\ne \pm 1$
$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$	$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$	$(\mathrm{arcsec}x{)}^{\prime }=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},x\ne \pm 1,0$
$(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$	$(\mathrm{arccsc}x{)}^{\prime }=\frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}},x\ne \pm 1,0$
$(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}=-(1+{\cot }^{2}x)$	$(\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=\frac{-1}{1+x^2}$

• Tambahkan:
  • $({\sin }^{n}x{)}^{\prime }=n{\sin }^{n-1}xcosx$
  • $(\sin u{)}^{\prime }=u^{\prime }\cos u$
  • $({\sin }^{n}u{)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{\sin }^{n-1}ucosu$

Hiperbolik

Perhatikan sebagai berikut

$sinhx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

$coshx=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

$(\sinh x{)}^{\prime }=\cosh x$	$(\mathrm{arcsinh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$(\cosh x{)}^{\prime }=\sinh x$	$(\mathrm{arccosh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}},x>1$
$(\tanh x{)}^{\prime }={\mathrm{sech}}^{2}x$	$(\mathrm{arctanh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1-x^2},|x|<1$
$(\mathrm{sech}x{)}^{\prime }=-\tanh x\mathrm{sech}x$	$(\mathrm{arcsech}x{)}^{\prime }=\frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}},0<x<1$
$(\mathrm{csch}x{)}^{\prime }=-\coth x\mathrm{csch}x$	$(\mathrm{arccsch}x{)}^{\prime }=\frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}},x\ne 0$
$(\coth x{)}^{\prime }=-{\mathrm{csch}}^{2}x$	$(\mathrm{arccoth}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1-x^2},|x|>1$

catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri.

Implisit

• cara 1

$ax+by=1$

$a+b{y}^{\prime }=0$

$y^{\prime }=-\frac{a}{b}$

• cara 2

persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi $\frac{d_y}{d_x}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}$

Fungsi implisit dibagi 2 jenis yaitu:

1. eksplisit

artinya fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Contoh: x²y+7=8xy+5x, y²-8x=5-6y

1. in-eksplisit

artinya fungsi implisit tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Contoh: xy+8x=y³-11

Laju perubahan (rata-rata)

Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah

V(rata-rata) = $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f^{\prime }(x_2)-f^{\prime }(x_1)}{x_2-x_1}$

Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam

Persamaan kuadrat

Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik.

Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun.

Persamaan kubik

Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut:

Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik.

Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton.

Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun.

Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton.

Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta > 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta < 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok.

Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut.

Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol.

Persamaan garis singgung kurva

Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah

m = f’(a) = $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{\mathrm{\Delta }x}$

contoh:

1. Berapa laju perubahan f(x)=x²-4x+3 pada:
   1. x=5!
   2. interval 2<x<3!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}f(x)& =x^2-4x+3\\ f^{\prime }(x)& =2x-4\\ v& =\frac{f^{\prime }(x)}{x}\\ & =\frac{f^{\prime }(5)}{5}\\ & =\frac{2(5)-4}{5}\\ & =\frac{6}{5}\\ & =1.2\\ v& =\frac{f^{\prime }(x_2)-f^{\prime }(x_1)}{x_2-x_1}\\ & =\frac{f^{\prime }(3)-f^{\prime }(2)}{3-2}\\ & =\frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2}\\ & =\frac{3}{1}\\ & =3\end{array}$$

1. Berapa laju perubahan f(x)=sin x-cos x pada:
   1. x=$\frac{\pi }{6}$!
   2. interval $0<x<\frac{\pi }{2}$!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}f(x)& =sinx-cosx\\ f^{\prime }(x)& =cosx+sinx\\ v& =\frac{f^{\prime }(x)}{x}\\ & =\frac{f^{\prime }(\frac{\pi }{6})}{\frac{\pi }{6}}\\ & =\frac{cos\frac{\pi }{6}+sin\frac{\pi }{6}}{\frac{\pi }{6}}\\ & =\frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{2}}{\frac{\pi }{6}}\\ & =\frac{\frac{\pi }{2}(\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi }{6}}\\ & =3(\sqrt{3}+1)\\ v& =\frac{f^{\prime }(x_2)-f^{\prime }(x_1)}{x_2-x_1}\\ & =\frac{f^{\prime }(\frac{\pi }{2})-f^{\prime }(0)}{\frac{\pi }{2}-0}\\ & =\frac{cos\frac{\pi }{2}+sin\frac{\pi }{2}-(cos0+sin0)}{\frac{\pi }{2}-0}\\ & =\frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi }{2}}\\ & =\frac{0}{\frac{\pi }{2}}\\ & =0\end{array}$$

1. Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari $f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36$!

jawaban

Jawaban

$$\begin{array}{cc}f(x)& =\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36\\ f^{\prime }(x)& =x^2-6x-16\\ \text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 }\\ x^2-6x-16& =0\\ (x+2)(x-8)& =0\\ x=-2& \text{ atau }x=8\\ \text{ menentukan nilai ekstrem }\\ f^{″}(x)& =2x-6\\ f^{″}(-2)& =2(2)-6=-2<0\\ f^{″}(8)& =2(8)-6=10>0\\ \text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum }\\ \text{untuk menentukan titik stasionernya adalah }\\ f(-2)& =\frac{(-2{)}^3}{3}-3(-2{)}^2-16(-2)+36\\ & =\frac{160}{3}\\ f(8)& =\frac{8^3}{3}-3(8{)}^2-16(8)+36\\ & =-\frac{1.386}{3}\\ \text{jadi titik stasionernya adalah }(-2,\frac{160}{3})\text{ dan }(8,-\frac{1.386}{3})\\ \text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 }\\ f^{″}(x)& =2x-6\\ 2x-6& =0\\ x& =3\\ \text{untuk menentukan titik beloknya adalah }\\ f(3)& =\frac{3^3}{3}-3(3{)}^2-16(3)+36\\ f(3)& =-30\\ \text{jadi titik beloknya adalah }(3,-30)\\ \text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika }x<-2\text{ atau }x>8\text{ dan turun jika }-2<x<8\end{array}$$

1. Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari $f(x)=1-2cos2x$ pada batas-batas interval $0<x<\frac{\pi }{2}$!

jawaban

Jawaban

$$\begin{array}{cc}f(x)& =1-2cos2x\\ f^{\prime }(x)& =4sin2x\\ \text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 }\\ 4sin2x& =0\\ 8sinx\cdot cosx& =0\\ (sinx)(cosx)& =0\\ x=0& \text{ atau }x=\frac{\pi }{2}\\ \text{ menentukan nilai ekstrem }\\ f^{″}(x)& =8cos2x\\ f^{″}(0)& =8cos2(0)=8>0\\ f^{″}(\frac{\pi }{2})& =8cos2(\frac{\pi }{2})=-8<0\\ \text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan }{f}^{″}(\frac{\pi }{2})\text{ negatif maka nilai maksimum }\\ \text{untuk menentukan titik stasionernya adalah }\\ f(0)& =1-2cos2(0)\\ & =-1\\ f(\frac{\pi }{2})& =1-2cos2(\frac{\pi }{2})\\ & =3\\ \text{jadi titik stasionernya adalah }(0,-1)\text{ dan }(\frac{\pi }{2},3)\\ \text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 }\\ f^{″}(x)& =8cos2x\\ 8cos2x& =0\\ cos2x& =0\\ cos2x& =cos\frac{\pi }{2}\\ 2x& =\frac{\pi }{2}\\ x& =\frac{\pi }{4}\\ \text{untuk menentukan titik beloknya adalah }\\ f(\frac{\pi }{4})& =1-2cos2(\frac{\pi }{4})\\ f(\frac{\pi }{4})& =1\\ \text{jadi titik beloknya adalah }(\frac{\pi }{4},1)\\ \text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik }\end{array}$$

1. Tentukan persamaan garis singgung kurva $f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x$ pada:
   1. di titik (-3,-3)!
   2. berabsis 2!

jawaban

Jawaban

$$\begin{array}{cc}f(x)& =\frac{x^3}{3}-x^2-8x\\ f^{\prime }(x)& =x^2-2x-8\\ f^{\prime }(x)& =(-3{)}^2-2(3)-8\\ f^{\prime }(x)& =-5\\ (y-y_1)& =m(x-x_1)\\ y-(-3)& =-5(x-(-3))\\ y+3& =-5x-15\\ y& =-5x-18\end{array}$$

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu }\frac{2^3}{3}-2^2-8(2)=-\frac{52}{3}\\ f(x)& =\frac{x^3}{3}-x^2-8x\\ f^{\prime }(x)& =x^2-2x-8\\ f^{\prime }(x)& =2^2-2(2)-8\\ f^{\prime }(x)& =-8\\ (y-y_1)& =m(x-x_1)\\ y-(-\frac{52}{3})& =-8(x-2)\\ y+\frac{52}{3}& =-8x+16\\ y& =-8x-\frac{4}{3}\end{array}$$

1. Tentukan persamaan garis singgung kurva $f(x)=3x^2-11x+10$ dan:
   1. sejajar dengan 7x-y=21!
   2. tegak lurus dengan 5y-x=10!

jawaban

Jawaban

$$\begin{array}{cc}7x-y& =21\\ y& =7x-21\\ m_1& =7\\ \text{karena bergradien sejajar maka }{m}_2=m_1\\ m_2& =m_1\\ m_2& =7\\ f(x)& =3x^2-11x+10\\ f^{\prime }(x)& =6x-11\\ 7& =6x-11\\ 6x& =18\\ x& =3\\ \text{untuk mencari nilai y dari 3 }\\ f(x)& =3x^2-11x+10\\ & =3(3{)}^2-11(3)+10\\ & =4\\ (y-y_1)& =m(x-x_1)\\ y-4& =7(x-3)\\ y-4& =7x-21\\ y& =7x-17\end{array}$$

Jawaban

$$\begin{array}{cc}5y-x& =10\\ 5y& =x+10\\ y& =\frac{x}{5}+2\\ m_1& =\frac{1}{5}\\ \text{karena bergradien tegak lurus maka }{m}_2=-\frac{1}{m_1}\\ m_2& =-\frac{1}{\frac{1}{5}}\\ m_2& =-5\\ f(x)& =3x^2-11x+10\\ f^{\prime }(x)& =6x-11\\ -5& =6x-11\\ 6x& =6\\ x& =1\\ \text{untuk mencari nilai y dari 1 }\\ f(x)& =3x^2-11x+10\\ & =3(1{)}^2-11(1)+10\\ & =2\\ (y-y_1)& =m(x-x_1)\\ y-2& =-5(x-1)\\ y-2& =-5x+5\\ y& =-5x+7\end{array}$$

1. Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{Misal tinggi adalah x }\\ t=x,p& =45-2x,l=24-2x\\ v& =(45-2x)\cdot (24-2x)\cdot x\\ & =4x^3-138x^2-1080x\\ \text{agar volume maksimum adalah v'(x) = 0}\\ v(x)& =4x^3-138x^2-1080x\\ v^{\prime }(x)& =12x^2-376x-1080\\ v^{\prime }(x)& =0\\ 12x^2-376x-1080& =0\\ 12(x^2-23x-90)& =0\\ x^2-23x-90& =0\\ (x-18)(x-5)& =0\\ x=18& \text{ atau }x=5\end{array}$$ jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm

1. Sebuah kawat berbentuk persegipanjang dengan ukuran p x l cm. Lebar kawat ini akan dibuat kawat baru dengan cara memasangnya dengan cara setengah ukuran lebar masing-masing dari ujung ke ujung sehingga kelilingnya adalah 130 cm. Tentukan ukuran kawat agar luas maksimum!

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{Misal panjang adalah p dan lebar adalah l }\\ k& =3p+4l\\ 130& =3p+4l\\ 4l& =130-3p\\ l& =32,5-0,75p\\ L(x)& =pl\\ & =p(32,5-0,75p)\\ & =32,5p-0,75p^2\\ \text{agar luas maksimum adalah L'(x) = 0}\\ L(x)& =32,5p-0,75p^2\\ L^{\prime }(x)& =32,5-1,5p\\ L^{\prime }(x)& =0\\ 32,5-1,5p& =0\\ p(32,5-1,5p)& =0\\ p=0& \text{ atau }p=\frac{65}{3}\\ l& =32,5-0,75(\frac{65}{3})\\ & =32,5-16,25\\ & =16,25\end{array}$$ jadi ukurannya adalah $\frac{65}{3}x\frac{65}{4}$ cm

1. Sebuah kerucut memiliki tabung yang berada di dalamnya. Tentukan jari-jari dan tinggi tabung agar volumenya maksimum!

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{Misal jari-jari dan tinggi kerucut adalah R dan t }\\ \text{Misal jari-jari dan tinggi tabung adalah r dan h }\\ \frac{h}{t}& =\frac{R-r}{R}\\ h& =\frac{(R-r)t}{R}\\ \text{agar volume maksimum adalah V'(x) = 0 }\\ V(r)& =\pi r^{2}h\\ & =\pi r^2\frac{(R-r)t}{R}\\ & =\pi r^{2}t-\pi \frac{r^{3}t}{R}\\ V^{\prime }(r)& =2\pi rt-3\pi \frac{r^{2}t}{R}\\ V^{\prime }(r)& =0\\ 2\pi rt-3\pi \frac{r^{2}t}{R}& =0\\ 2\pi rt-3\pi \frac{r^{2}t}{R}& =0\\ \frac{3r}{R}& =2\\ r& =\frac{2R}{3}\\ h& =\frac{(R-\frac{2R}{3})t}{R}\\ & =\frac{Rt}{3R}\\ & =\frac{t}{3}\end{array}$$

1. Sebuah bola memiliki tabung yang berada di dalamnya. Tentukan jari-jari dan tinggi tabung agar volumenya maksimum!

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{Misal jari-jari bola adalah R }\\ \text{Misal jari-jari dan tinggi tabung adalah r dan t }\\ t& =\sqrt{R^2-r^2}\\ \text{agar volume maksimum adalah V'(x) = 0 }\\ V(r)& =\pi r^{2}t\\ & =\pi r^2\sqrt{R^2-r^2}\\ V^{\prime }(r)& =2\pi r\sqrt{R^2-r^2}-\frac{\pi r^3}{\sqrt{R^2-r^2}}\\ V^{\prime }(r)& =0\\ 2\pi r\sqrt{R^2-r^2}-\frac{\pi r^3}{\sqrt{R^2-r^2}}& =0\\ 2\sqrt{R^2-r^2}-\frac{r^2}{\sqrt{R^2-r^2}}& =0\\ \frac{r^2}{\sqrt{R^2-r^2}}& =2\sqrt{R^2-r^2}\\ r^2& =2(R^2-r^2)\\ r^2& =2R^2-2r^2\\ 3r^2& =2R^2\\ r& =\frac{R\sqrt{6}}{3}\\ t& =\sqrt{R^2-(\frac{R\sqrt{6}}{3}{)}^2}\\ & =\sqrt{R^2-\frac{6R^2}{9}}\\ & =\sqrt{\frac{R^2}{3}}\\ & =\frac{R\sqrt{3}}{3}\end{array}$$

1. Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y }\\ x+y& =40\\ y& =40-x\\ \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah h'(x) = 0 }\\ h(x)& =x\cdot y\\ & =x\cdot (40-x)\\ & =40x-x^2\\ h^{\prime }(x)& =40-2x\\ h^{\prime }(x)& =0\\ 40-2x& =0\\ 2x& =40\\ x& =20\\ h(x)& =20\cdot (40-20)\\ & =20\cdot 20\\ & =400\end{array}$$

jadi hasil kalinya adalah 400

• Tentukan hasil turunan pertama dari x^x!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}y& =x^x\\ lny& =ln{x}^x\\ lny& =xlnx\\ \frac{1}{y}{y}^{\prime }& =lnx+x\frac{1}{x}\\ y^{\prime }& =y(lnx+1)\\ & =x^x(lnx+1)\end{array}$$

• Tentukan hasil turunan pertama dari x³-y²=15!

cara 1

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{x}^3-y^2& =15\\ y^2& =x^3-15\\ y& =\sqrt{x^3-15}\\ y^{\prime }& =\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3-15}}\\ & =\frac{3x^2\sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)}\\ & =\frac{3x^2\sqrt{x^3-15}}{2x^3-30}\end{array}$$

cara 2

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{untuk mencari nilai y maka }\\ x^3-y^2& =15\\ y^2& =x^3-15\\ y& =\sqrt{x^3-15}\\ x^3-y^2& =15\\ 3x^2-2y{y}^{\prime }& =0\\ 2y{y}^{\prime }& =3x^2\\ y^{\prime }& =\frac{3x^2}{2y}\\ & =\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3-15}}\\ & =\frac{3x^2\sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)}\\ & =\frac{3x^2\sqrt{x^3-15}}{2x^3-30}\end{array}$$

cara 3

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{x}^3-y^2& =15\\ x^3-y^2-15& =0\\ y^{\prime }(x)& =3x^2\\ y^{\prime }(y)& =-2y\\ y^{\prime }=\frac{dy}{dx}& =-\frac{y^{\prime }(x)}{y^{\prime }(y)}\\ & =-\frac{3x^2}{-2y}\\ & =\frac{3x^2}{2y}\\ \text{untuk mencari nilai y maka }\\ x^3-y^2& =15\\ y^2& =x^3-15\\ y& =\sqrt{x^3-15}\\ y^{\prime }& =\frac{3x^2}{2y}\\ & =\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3-15}}\\ & =\frac{3x^2\sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)}\\ & =\frac{3x^2\sqrt{x^3-15}}{2x^3-30}\end{array}$$

• Tentukan hasil turunan pertama dari 3x²y+7y=x³-2!

cara 1

Jawaban

$$\begin{array}{cc}3x^{2}y+7y& =x^3-2\\ y(3x^2+7)& =x^3-2\\ y& =\frac{x^3-2}{3x^2+7}\\ y^{\prime }& =\frac{3x^2(3x^2+7)-(x^3-2)6x}{(3x^2+7{)}^2}\\ & =\frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401}\\ & =\frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401}\end{array}$$

cara 2

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{untuk mencari nilai y maka }\\ 3x^{2}y+7y& =x^3-2\\ (3x^2+7)y& =x^3-2\\ y& =\frac{x^3-2}{3x^2+7}\\ 3x^{2}y+7y& =x^3-2\\ 6xy+3x^2{y}^{\prime }+7y^{\prime }& =3x^2\\ 3x^2{y}^{\prime }+7y^{\prime }& =3x^2-6xy\\ (3x^2+7)y^{\prime }& =3x^2-6xy\\ y^{\prime }& =\frac{3x^2-6xy}{3x^2+7}\\ & =\frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7}\\ & =\frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7{)}^2}\\ & =\frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401}\\ & =\frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401}\end{array}$$

cara 3

Jawaban

$$\begin{array}{cc}3x^{2}y+7y& =x^3-2\\ 3x^{2}y+7y-x^3+2& =0\\ y^{\prime }(x)& =6xy-3x^2\\ y^{\prime }(y)& =3x^2+7\\ y^{\prime }=\frac{dy}{dx}& =-\frac{y^{\prime }(x)}{y^{\prime }(y)}\\ & =-\frac{6xy-3x^2}{3x^2+7}\\ & =\frac{3x^2-6xy}{3x^2+7}\\ \text{untuk mencari nilai y maka }\\ 3x^{2}y+7y& =x^3-2\\ (3x^2+7)y& =x^3-2\\ y& =\frac{x^3-2}{3x^2+7}\\ y^{\prime }& =\frac{3x^2-6xy}{3x^2+7}\\ & =\frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7}\\ & =\frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7{)}^2}\\ & =\frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401}\\ & =\frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401}\end{array}$$

• Tentukan hasil turunan pertama dari x²y+xy²=x+2y!

cara 1

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{x}^{2}y+x{y}^2& =x+2y\\ 2xy+x^2{y}^{\prime }+y^2+x2y{y}^{\prime }& =1+2y^{\prime }\\ x^2{y}^{\prime }+2xy{y}^{\prime }-2y^{\prime }& =1-2xy-y^2\\ (x^2+2xy-2)y^{\prime }& =-y^2-2xy+1\\ y^{\prime }& =\frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2}\end{array}$$

cara 2

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{x}^{2}y+x{y}^2& =x+2y\\ x^{2}y+x{y}^2-x-2y& =0\\ y^{\prime }(x)& =2xy+y^2-1\\ y^{\prime }(y)& =x^2+x2y-2\\ y^{\prime }=\frac{dy}{dx}& =-\frac{y^{\prime }(x)}{y^{\prime }(y)}\\ & =-\frac{2xy+y^2-1}{x^2+x2y-2}\\ & =\frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2}\end{array}$$