Soal-Soal Matematika/Bilangan

Hierarki bilangan

hierarki bilangan-bilangan yang paling tinggi sebagai berikut:

1 bilangan kompleks

contoh: 3+2i, -4-i, $5-\sqrt{2}i$, $-\sqrt{7}+8i$, dst

2 bilangan real dan imajiner

• bilangan real

contoh: $\sqrt{2}$, $\frac{1}{2}$, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, e, $\pi$, dst

• bilangan imajiner

contoh: $\sqrt{-2}$, $\sqrt{-13}$, dst

3 bilangan rasional dan irasional

• bilangan rasional

contoh: $\sqrt{9}$, $\frac{1}{2}$, 1/9, 3/4, 0.9999…, 3.1414…, 0.75, dst

• bilangan irasional

contoh: $2\sqrt{5}$, 3.14536…., 2.567785…., e, $\pi$, dst

4 bilangan bulat dan pecahan

• bilangan bulat

contoh: 8, -4, -18, dst

• bilangan pecahan

contoh: $\frac{1}{3}$, 6.5, $8\frac{2}{7}$, dst

$\frac{1}{a}=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a(a+1)}$

$0,66=\frac{66}{100}$ tetapi $0,\overline{66}=\frac{66}{99}$

Pecahan sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya tidak bisa disederhanakan lagi contohnya 1/2, 1/9, 7/20, dst sedangkan pecahan tidak sederhana adalah bentuk pecahan yang pembilangnya bisa disederhanakan lagi contohnya 4/8, 12/18, dst.

Pecahan sejati adalah pembilang lebih kecil dari penyebut contohnya 1/5, 2/9, 5/20, dst sedangkan pecahan tidak sejati adalah pembilang lebih besar dari penyebut contohnya 7/5, 21/11, 18/13, dst

Ada 5 bilangan pecahan parsial yaitu

	Rasional	Pecahan parsial
pecahan linear	$\frac{px+q}{(x-a)(x-b)}$	$\frac{A}{x-a}$+$\frac{B}{x-b}$
pecahan linear berulang	$\frac{px+q}{(x-a{)}^2}$	$\frac{A}{x-a}$+$\frac{B}{(x-a{)}^2}$
pecahan kuadrat	$\frac{p{x}^2+qx+r}{(x-a)(x-b)(x-c)}$	$\frac{A}{x-a}$+$\frac{B}{x-b}$+$\frac{C}{x-c}$
pecahan kuadrat berulang	$\frac{p{x}^2+qx+r}{(x-a{)}^2(x-b)}$	$\frac{A}{x-a}$+$\frac{B}{(x-a{)}^2}$+$\frac{C}{x-b}$
pecahan kuadrat yang tak dapat difaktorkan	$\frac{p{x}^2+qx+r}{(x-a)(x^2-bx+c)}$	$\frac{A}{x-a}$+$\frac{Bx+C}{x^2-bx+c}$

1. faktor linear

$\frac{5x+9}{(x+2)(x+1)}=\frac{1}{x+2}+\frac{4}{x+1}$

1. faktor linear berulang

$\frac{3x+5}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{x+1}+\frac{2}{(x+1{)}^2}$

1. faktor kuadrat

$\frac{x^2-5x+6}{(x+4)(x+2)(x+1)}=\frac{7}{x+4}+\frac{-10}{x+2}+\frac{4}{x+1}$

1. faktor kuadrat berulang

$\frac{x^2+x-2}{(x-3)(x+1{)}^2}=\frac{\frac{5}{8}}{x-3}+\frac{\frac{3}{8}}{x+1}+\frac{\frac{1}{2}}{(x+1{)}^2}$

1. faktor kuadrat yang tak dapat difaktorkan

$\frac{8x^2+12x-20}{(x+3)(x^2+x+2)}=\frac{2}{x+3}+\frac{6x-8}{x^2+x+2}$

5 bilangan bulat positif (cacah) dan bulat negatif

• bilangan cacah

contoh: 0, 10, 45, dst

• bilangan bulat negatif

contoh: -46, -2, dst

6 bilangan asli dan nol

• bilangan asli

contoh: 13, 140, 48, dst

• bilangan nol

contoh: hanya 0

7 bilangan ganjil, genap, prima dan komposit

• bilangan ganjil

contoh: 1, 3, 5, 7, dst

• bilangan genap

contoh: 2, 4, 6, 8, dst

• bilangan prima

contoh: 2, 3, 5, 7, dst

• bilangan komposit

contoh: 4, 6, 8, 9, dst

Bilangan romawi

Angka	Romawi	Angka	Romawi	Angka	Romawi
1	I	11	XI	30	XXX
2	II	12	XII	40	XL
3	III	13	XIII	50	L
4	IV	14	XIV	60	LX
5	V	15	XV	70	LXX
6	VI	16	XVI	80	LXXX
7	VII	17	XVII	90	LC
8	VIII	18	XVIII	100	C
9	IX	19	XIX	500	D
10	X	20	XX	1000	M

Angka dan digit

• 14 (1 angka dan 2 digit)
• 235 (1 angka dan 3 digit)
• 456 (3 digit) dan 7890 (4 digit) [2 angka]
• AB = 10A + B
• PQR = 100P + 10Q + R
• AAA : 37 = A x 3 (hasil dua digit)
• AAA BBB : 37 = [A x 3 (hasil dua digit)] 0 [B x 3 (hasil dua digit)]

Kondisi kedua bilangan

Bilangan I	Bilangan II	Jumlah	Kali
Ganjil	Ganjil	Genap	Ganjil
Genap	Genap	Genap	Genap
Ganjil	Genap	Ganjil	Genap

Ciri-ciri bilangan habis dibagi pembagi istimewa

Bil habis dibagi pembagi	Syarat
2	Digit terakhir bilangan genap
3	Jumlah semua digit habis dibagi 3
4	Dua digit terakhir habis dibagi 4
5	Digit terakhir 0 atau 5
6	Bilangan genap yang jumlah semua digitnya habis dibagi 3 Bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2
7	Bila bagian satuannya dikalikan 2 dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan itu habis dibagi 7
8	Tiga digit terakhir habis dibagi 8
9	Jumlah semua digit habis dibagi 9
10	Digit terakhir 0

Ciri-ciri sisa jika bilangan tidak habis dibagi pembagi istimewa

Bil tidak habis dibagi pembagi	Syarat jika sisa
2	Digit terakhir bilangan ganjil dan pasti bersisa 1
3	Jumlah semua digit tidak habis dibagi 3 (sampai angka satuan)
4
5	Digit terakhir bukan 0 atau 5
6
7
8
9	Jumlah semua digit tidak habis dibagi 9 (sampai angka satuan)
10	Digit terakhir bukan 0

Bilangan desimal berulang

Dibagi 7

1	142857
2	285714
3	428571
4	571428
5	714285
6	857152

Dibagi 13

1	076923	7	538461
2	153846	8	615384
3	230769	9	692307
4	307692	10	769230
5	384615	11	846153
6	461538	12	923076

Sisa dibagi angka berpangkat tanpa berulang

Jika bersisa 1 berapapun angka dibagi semua angka pasti bersisa 1 untuk semua pangkat.

Dibagi 3

Sisa (1)	Sisa (2)
2	1

Dibagi 4

Sisa (1)	Sisa (2)
2
3	1

Dibagi 5

Sisa (1)	Sisa (2)	Sisa (3)	Sisa (4)
2	4	3	1
3	4	2	1
4	1

Dibagi 6

Sisa (1)	Sisa (2)
2	4
3
4
5	1

Dibagi 7

Sisa (1)	Sisa (2)	Sisa (3)	Sisa (4)	Sisa (5)	Sisa (6)
2	4	1
3	2	6	4	5	1
4	2	1
5	4	6	2	3	1
6	1

Dibagi 8

Sisa (1)	Sisa (2)
2	4
3	1
4
5	1
6	4
7	1

Dibagi 9

Sisa (1)	Sisa (2)	Sisa (3)	Sisa (4)	Sisa (5)	Sisa (6)
2	4	8	7	5	1
3
4	7	1
5	7	8	4	2	1
6
7	4	1
8	1

Keterangan:

() = berpangkat

contoh

8^2 : 6 jadi sisa 4 (2*2 = 4)

5^3 : 3 jadi sisa 2 (2*2*2 = 8)

10^4 : 7 jadi sisa 4 (3*3*3*3 = 81)

angka terakhir pada angka berpangkat tanpa berulang

0 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 0.

1 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 1.

5 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 5.

6 berpangkat berapa pun pasti angka terakhir 6.

2 berpangkat

2, 4, 8, 6

3 berpangkat

3, 9, 7, 1

4 berpangkat

4, 6

7 berpangkat

7, 9, 3, 1

8 berpangkat

8, 4, 2, 6

9 berpangkat

9, 1

Bentuk persentase (%)

Persentase (%) adalah dalam bentuk per ratus atau berdesimal dua angka.

Contoh persentase:

1. 2 = 2 * 100% = 200%
2. 0.2 = 0.2 * 100% = 20%
3. 0.76 = 0.76 * 100% = 76%
4. 0,057 = 0.057 * 100% = 5.7%
5. 0.0075 = 0.0075 * 100% = 0,75% = 3/4%
6. 1/2 = 0.5 = 0.5 * 100% = 50%
7. 4/5 = 0.8 = 0.8 * 100% = 80%

1. 1.5% = = 1.5 * 1/100 = 0.015
2. 5% = 5 * 1/100 = 0.05
3. 23.5% = 23.5 * 1/100 = 0.235
4. 75% = 75 * 1/100 = 0.75
5. 1/2% = 1/2 * 1/100 = 0.005
6. 3/5% = 3/5 * 1/100 = 0.006
7. 3/8% = 3/8 * 1/100 = 0.00375

Contoh soal:

1. Berapa hasil 49% dari 500?
2. Berapa hasil 62% untuk 465?
3. Berapa % hasil dari 3.600 untuk 1.728?
4. Jika hasil 45% dari suatu bilangan adalah 81 maka berapa hasil dari 35% dari bilangan tersebut?
5. Jika hasil 62% dari 3x adalah 31 maka berapa hasil 24% dari 4x?

jawaban:

1. 49% * 500 = 245
2. 62% * x = 465 ↔ x = 465 / 62%
   465 * 100/62 = 750
3. 1.728/3.600 * 100% = 48%
4. 45% * A = 81 nah 35% * A = ?. jadi A = 81/45% lalu 35% * 81/45% = 63
5. 62% * 3x = 31 menjadi x = 100/62 * 31/3 = 100/6 lalu 24% * 4x = 24% * 4(100/6) = 16

Bilangan kompleks

1 Bentuk kartesian

bentuk kartesiannya adalah z=x+yi (i=$\sqrt{-1}$)

koordinatnya adalah (x,y). x adalah bilangan real dan y adalah bilangan imajiner. Bagian real dinyatakan Re(z) dan bagian imajiner dinyatakan Im(z).

operasi hitung

jika z₁=x₁+y₁i dan z₂=x₂+y₂i maka sebagai berikut:

Penjumlahan

$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$

Pengurangan

$z_1-z_2=(x_1+y_{1}i)-(x_2+y_{2}i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$

Perkalian

$z_1\times z_2=(x_1+y_{1}i)\times (x_2+y_{2}i)=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2=x_1{x}_2+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i-y_1{y}_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$

Pembagian

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+y_{1}i}{x_2+y_{2}i}=\frac{x_1+y_{1}i}{x_2+y_{2}i}\cdot \frac{x_2+y_{2}i}{x_2+y_{2}i}=\frac{x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2}{{x_2}^2+2x_2{y}_{2}i+(y_{2}i{)}^2}=\frac{x_1{x}_2+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i-y_1{y}_2}{{x_2}^2+2x_2{y}_{2}i-{y_2}^2}=\frac{x_1{x}_2+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i-y_1{y}_2}{({x_2}^2-{y_2}^2)+2x_2{y}_{2}i}$

Perkalian skalar

kz = k(x+yi) = kx+kyi

Bernilai -1

-1(z) = -z = -(x+yi) = -x-yi

Invers

z^-1 = u + vi dimana u=$\frac{x}{x^2+y^2}$ dan v=$\frac{y}{x^2+y^2}$

sifat

• z₁+z₂=z₂+z₁
• (z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃)
• z₁xz₂=z₂xz₁
• (z₁xz₂)xz₃=z₁x(z₂xz₃)
• z₁x(z₂+z₃)=z₁xz₂+z₁xz₃
• 1(z)=z
• 0(z)=0
• z+(-z)=0
• zxz^-1=1

konjugat kompleks sekawan

konjugat kompleks sekawan dari z=x+yi adalah $\bar{z}$=x-yi yang koordinat adalah (x,-y). adapun memiliki sifat sebagai berikut:

• Teorema 1
  • $\overline{\stackrel{‾}{z}}$=z
  • $\overline{z^{-1}}={\bar{z}}^{-1}$
  • z+$\bar{z}$=2Re(z)
  • z-$\bar{z}$=2iIm(z)
  • zx$\bar{z}$=(Re(z))²+(Im(z))²
• Teorema 2

Jika z bilangan kompleks maka berlaku:

• • |z|²=(Re(z))²+(Im(z))²
  • |z²|=|z|²=z.$\bar{z}$
  • |z|=|-z|=|$\bar{z}$|
  • |z|≤|Re(z)|≤Re(z)
  • |z|≤|Im(z)|≤Im(z)

Jika z₁, z₂ maka berlaku:

• • |z₁xz₂|=|z₁|x|z₂|
  • $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ untuk |z₂|≠0
  • |z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|
  • |z₁-z₂|≥|z₁|-|z₂|
  • |z₁-z₂|=|z₂-z₁|

Jika z₁, z₂ dengan konjugat maka berlaku:

• • $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
  • $\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$
  • $\overline{z_1\times z_2}=\overline{z_1}\times \overline{z_2}$
  • $\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$ untuk $\overline{z_2}\ne 0$

Modulus

• jika z=x+yi maka |z|=r=$\sqrt{x^2+y^2}$

2 Bentuk kutub (polar)

koordinatnya adalah z=(r,$\theta$)

hubungan (x,y) dengan (r,$\theta$) adalah

x=r cos $\theta$

y=r sin $\theta$

dengan $\theta$ = arc tan ($\frac{y}{x}$)

bentuk kutubnya adalah z=(r,$\theta$)=r(cos $\theta$+i sin $\theta$)=r cis $\theta$

sekawannya adalah $\bar{z}$=(r,-$\theta$)=r(cos $\theta$-i sin $\theta$)

argument

Sudut $\theta$ disebut argument z maka ditulis arg z

z=x+yi dan z=r(cos $\theta$+ i sin $\theta$) maka x+yi=r(cos $\theta$+ i sin $\theta$)

$\theta$ = arc cos ($\frac{x}{r}$) dan $\theta$ = arc sin ($\frac{y}{r}$) dimana $\theta$ merupakan irisan bagiannya

Sudut $\theta$ dengan 0≤$\theta$≤$2\pi$ atau $-\pi$≤$\theta$≤$\pi$ disebut argument utama maka ditulis Arg z

3 Bentuk eksponensial

bentuk eksponensialnya adalah z=re^i$\theta$

sekawannya adalah $\bar{z}$=re^-i$\theta$

i sin $\theta$=$\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2}$

cos $\theta$=$\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}$

Bentuk bilangan kompleks

	Kartesian	Kutub	Eksponensial
z	x+yi	r(cos $\theta$+i sin $\theta$)	rei$\theta$
koordinat z	(x,y)	(r,$\theta$)
$\bar{z}$	x-yi	r(cos $\theta$-i sin $\theta$)	re-i$\theta$
koordinat $\bar{z}$	(x,-y)	(r,-$\theta$)

contoh soal

• Jika z₁=1+i dan z₂=3-2i maka tentukan:

z₁+z₂

z₁-z₂

z₁xz₂

$\frac{z_1}{z_2}$

(z₁)^-1

|z₁|

|z₂|

|z₁|+|z₂|

|z₁|-|z₂|

|z₁|x|z₂|

$\frac{|z_1|}{|z_2|}$

|z₁+z₂|

|z₁-z₂|

|z₁xz₂|

|$\frac{z_1}{z_2}$|

$\overline{z_1}$

$\overline{z_2}$

$\overline{z_1}$+$\overline{z_2}$

$\overline{z_1}$-$\overline{z_2}$

$\overline{z_1}$x$\overline{z_2}$

$\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$

$\overline{z_1+z_2}$

$\overline{z_1-z_2}$

$\overline{z_1\times z_2}$

$\overline{(\frac{z_1}{z_2})}$

persamaan polarnya dari z₁

persamaan eksponensialnya dari z₁

Jawaban

$$\begin{array}{c}\ast z_1+z_2\\ z_1+z_2& =(1+i)+(3-2i)\\ & =4-i\\ \ast z_1-z_2\\ z_1-z_2& =(1+i)-(3-2i)\\ & =-2+3i\\ \ast z_1\times z_2\\ z_1\times z_2& =(1+i)(3-2i)\\ & =3+i+2\\ & =5+i\\ \ast \frac{z_1}{z_2}\\ \frac{z_1}{z_2}& =\frac{1+i}{3-2i}\\ & =\frac{1+i}{3-2i}\times \frac{3+i}{3+2i}\\ & =\frac{3+4i+i^2}{9+4}\\ & =\frac{2+4i}{13}\\ & =\frac{2}{13}+\frac{4}{13}i\\ \ast z_1^{-1}\\ z_1^{-1}& =u+vi\\ & =\frac{1^2}{1^2+1^2}+(\frac{1^2}{1^2+1^2})i\\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\\ \ast |z_1|\\ |z_1|& =\sqrt{1^2+1^2}\\ & =\sqrt{2}\\ \ast |z_2|\\ |z_2|& =\sqrt{3^2+(-2{)}^2}\\ & =\sqrt{13}\\ \ast |z_1|+|z_2|\\ |z_1|+|z_2|& =\sqrt{2}+\sqrt{13}\\ \ast |z_1|-|z_2|\\ |z_1|-|z_2|& =\sqrt{2}-\sqrt{13}\\ \ast |z_1|\times |z_2|\\ |z_1|\times |z_2|& =\sqrt{2}\times \sqrt{13}\\ & =\sqrt{26}\\ \ast \frac{|z_1|}{|z_2|}\\ \frac{|z_1|}{|z_2|}& =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}\\ & =\frac{\sqrt{26}}{13}\\ \ast |z_1+z_2|\\ |z_1+z_2|& =\sqrt{4^2+(-1{)}^2}\\ & =\sqrt{17}\\ \ast |z_1-z_2|\\ |z_1-z_2|& =\sqrt{(-2{)}^2+3^2}\\ & =\sqrt{13}\\ \ast |z_1\times z_2|\\ |z_1\times z_2|& =\sqrt{5^2+1^2}\\ & =\sqrt{26}\\ \ast |\frac{z_1}{z_2}|\\ |\frac{z_1}{z_2}|& =\sqrt{(\frac{2}{13}{)}^2+(\frac{4}{13}{)}^2}\\ & =\sqrt{\frac{4}{169}+\frac{16}{169}}\\ & =\sqrt{\frac{20}{169}}\\ & =\frac{\sqrt{20}}{13}\\ \ast \overline{z_1}\\ \overline{z_1}& =1-i\\ \ast \overline{z_2}\\ \overline{z_2}& =3+2i\\ \ast \overline{z_1}+\overline{z_2}\\ \overline{z_1}+\overline{z_2}& =1-i+3+2i\\ & =4+i\\ \ast \overline{z_1}-\overline{z_2}\\ \overline{z_1}-\overline{z_2}& =1-i-(3+2i)\\ & =-2-3i\\ \ast \overline{z_1}\times \overline{z_2}\\ \overline{z_1}\times \overline{z_2}& =(1-i)(3+2i)\\ & =3-i-2i^2\\ & =5-i\\ \ast \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\\ \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}& =\frac{1-i}{3+2i}\\ & =\frac{1-i}{3+2i}\times \frac{3-2i}{3-2i}\\ & =\frac{3-5i+2i^2}{9+4}\\ & =\frac{1-5i}{13}\\ & =\frac{1}{13}-\frac{5}{13}i\\ \ast \overline{z_1+z_2}\\ \overline{z_1+z_2}& =4+i\\ \ast \overline{z_1-z_2}\\ \overline{z_1-z_2}& =-2-3i\\ \ast \overline{z_1\times z_2}\\ \overline{z_1\times z_2}& =5-i\\ \ast \overline{(\frac{z_1}{z_2})}\\ \overline{(\frac{z_1}{z_2})}& =\frac{2}{13}-\frac{4}{13}i\\ \ast z& =r(cos\theta +isin\theta )\\ 1+i& =rcos\theta +risin\theta \\ \theta & =arccos(\frac{1}{\sqrt{2}})\\ \theta & =45^{\circ },315^{\circ }\\ \theta & =arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}})\\ \theta & =45^{\circ },135^{\circ }\\ \text{irisannya adalah }\theta & =45^{\circ }\\ z& =r(cos\theta +isin\theta )\\ & =\sqrt{2}(cos45^{\circ }+isin45^{\circ })\\ \ast z& =r{e}^{i\theta }\\ \theta & =45^{\circ }=\frac{\pi }{4}\\ z& =\sqrt{2}{e}^{i\frac{\pi }{4}}\\ & =\sqrt{2}{e}^{\frac{\pi i}{4}}\end{array}$$