Soal-Soal Matematika/Barisan dan deret geometri

Rumus barisan dan deret geometri

$\begin{array}{cc}{U}_n& =a{r}^{n-1}\\ S_n& =\frac{a(r^n-1)}{r-1}\text{bila}r>1\\ S_n& =\frac{a(1-r^n)}{1-r}\text{bila}r<1\\ r& =\frac{U_n}{U_{n-1}}\\ U_n& =S_n-S_{n-1}\\ U_t& =\sqrt{U_1{U}_n}\\ r& =\sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}}\\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.}\end{array}$

keterangan:

a/U₁: suku pertama

n: banyaknya suku ke-n

r: rasio suku

Ut: suku tengah

Un: suku ke-n

Sn: jumlah suku ke-n

rataan

$R=\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \dots \cdot a_n}$

suku dan rasio baru

• $n_b=n+(n-1)x$
• $r_b=\sqrt[x+1]{r}$

deret takhingga

• $S_{\mathrm{\infty }}=\frac{a}{1-r}\text{ bila }-1<r<1\text{ (deret konvergen) }$ (konvergen: |r|<1)
• $S_{\mathrm{\infty }gj}=\frac{a}{1-r^2}$ (suku ganjil)
• $S_{\mathrm{\infty }gnp}=\frac{ar}{1-r^2}$ (suku genap)
• $S_{\mathrm{\infty }}=S_{\mathrm{\infty }gj}+S_{\mathrm{\infty }gnp}$

barisan dan deret bertingkat

cara 1

cara 2

• $a_n=a^{n^2}+b^n+c$ (tingkat 2)
• $a_n=a^{n^3}+b^{n^2}+c^n+d$ (tingkat 3)

Tambahan

• Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: $a_n=a{r}^{n-1}$ dimana $n-1=\frac{\mathrm{\Delta }t}{t}$.
• Rumus panjang lintasan: $PL=2S_{\mathrm{\infty }}-a$.

pembuktian

$$\begin{array}{cc}{S}_{turun}& =\frac{a}{1-r}\\ S_{naik}& =\frac{ar}{1-r}\\ S_{total}& =\frac{a}{1-r}+\frac{ar}{1-r}\\ & =\frac{a+ar}{1-r}\\ & =\frac{2a-a+ar}{1-r}\\ & =\frac{2a-(a-ar)}{1-r}\\ & =\frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r}\\ & =\frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r}\\ & =2S_{\mathrm{\infty }}-a\end{array}$$

contoh soal

1. Tentukan jumlah deret tak terhingga sebagai berikut:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\dots$

$\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\dots$

$\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+\dots$

1-2+3-4+…+99

Jawaban

$$\begin{array}{c}\ast \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\dots \\ a=\frac{1}{2},r=\frac{1}{2}\\ S_{\mathrm{\infty }}& =\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\\ & =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\\ & =1\\ \ast \text{cara 1}\\ \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\dots \\ \text{misalkan }\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\dots =x\\ \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\dots & =x\\ \frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{4}{32}+\frac{5}{64}+\dots & =\frac{1}{2}x\\ \text{kurangkan }x\text{ dengan }\frac{1}{2}x\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\dots & =\frac{1}{2}x\\ a=\frac{1}{2},r=\frac{1}{2}\\ S_{\mathrm{\infty }}& =\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\\ & =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\\ & =1\\ 1& =\frac{1}{2}x\\ x& =2\\ \text{cara 2}\\ \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\dots \\ \text{misalkan }\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\dots =x\\ \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\dots & =x\\ 1+1+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\frac{5}{16}+\dots & =2x\\ \text{kurangkan }2x\text{ dengan }x\\ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\dots & =x\\ a=1,r=\frac{1}{2}\\ S_{\mathrm{\infty }}& =\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\\ & =\frac{1}{\frac{1}{2}}\\ & =2\\ x& =2\\ \ast \text{cara 1}\\ \frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+\dots \\ \text{misalkan }\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+\dots =x\\ \frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+\dots & =x\\ \frac{1}{5^2}+\frac{4}{5^3}+\frac{7}{5^4}+\frac{10}{5^5}+\frac{13}{5^6}+\dots & =\frac{1}{5}x\\ \text{kurangkan }x\text{ dengan }\frac{1}{5}x\\ \frac{1}{5}+\frac{3}{5^2}+\frac{3}{5^3}+\frac{3}{5^4}+\frac{3}{5^5}+\dots & =\frac{4}{5}x\\ \frac{1}{5}+3(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{5^5}+\dots )& =\frac{4}{5}x\\ a=\frac{1}{5^2},r=\frac{1}{5}\\ S_{\mathrm{\infty }}& =\frac{\frac{1}{5^2}}{1-\frac{1}{5}}\\ & =\frac{\frac{1}{5^2}}{\frac{4}{5}}\\ & =\frac{1}{20}\\ \frac{1}{5}+3(\frac{1}{20})& =\frac{4}{5}x\\ \frac{7}{20}& =\frac{4}{5}x\\ \frac{7}{4}& =4x\\ x& =\frac{7}{16}\\ \text{cara 2}\\ \frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+\dots \\ \text{misalkan }\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+\dots =x\\ \frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+\dots & =x\\ 1+\frac{4}{5}+\frac{7}{5^2}+\frac{10}{5^3}+\frac{13}{5^4}+\dots & =5x\\ \text{kurangkan }5x\text{ dengan }x\\ 1+\frac{3}{5}+\frac{3}{5^2}+\frac{3}{5^3}+\frac{3}{5^4}+\dots & =4x\\ 1+3(\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5^4}+\dots )& =4x\\ a=\frac{1}{5},r=\frac{1}{5}\\ S_{\mathrm{\infty }}& =\frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}}\\ & =\frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}}\\ & =\frac{1}{4}\\ 1+3(\frac{1}{4})& =4x\\ x& =\frac{7}{16}\\ \ast 1-2+3-4+5-\dots -100& =1+3+5+\dots +99-(2+4+6+8+\dots +98)\\ \text{untuk }1+3+5+\dots +99\\ 99& =1+(n-1)2\\ 98& =2(n-1)\\ 49& =n-1\\ n& =50\\ S_{50}& =\frac{50}{2}(1+99)\\ & =25\times 100\\ & =2.500\\ \text{untuk }2+4+6+8+\dots +98\\ 98& =2+(n-1)2\\ 96& =2(n-1)\\ 48& =n-1\\ n& =49\\ S_{49}& =\frac{49}{2}(2+98)\\ & =\frac{49}{2}\times 100\\ & =2.450\\ 1-2+3-4+5-\dots -100& =2.500-2.450\\ & =50\end{array}$$

1. Diketahui deret geometri tak hingga $U_1+U_2+U_3+\dots$ jika rasio deret adalah r;-1<r<1, $U_1+U_2+U_3+\dots =5$ dan $U_3+U_4+U_5+\cdot =\frac{1}{5}$. Tentukan nilai r!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{U}_1+U_2+U_3+\dots & =5\\ S_{\mathrm{\infty }}& =5\\ \frac{a}{1-r}& =5\\ a& =5(1-r)\\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+\dots & =5\\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+\dots )& =5\\ a+ar+\frac{1}{5}& =5\\ a(1+r)& =5-\frac{1}{5}\\ 5(1-r)(1+r)& =\frac{24}{5}\\ 1-r^2& =\frac{24}{25}\\ r^2& =\frac{1}{25}\\ r^2& =(\frac{1}{5}{)}^2\\ r^2-(\frac{1}{5}{)}^2& =0\\ (r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5})& =0\\ r=-\frac{1}{5}& \text{ atau }r=\frac{1}{5}\end{array}$$

1. Tentukan nilai x agar deret geometri tak hingga bersifat konvergen sebagai berikut:

• $\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+\dots$
• rasionya ³log (2x-1)
• jika jumlah deret tak hingga adalah 10 serta suku pertama adalah x

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{ketiga soal mempunyai syarat konvergen adalah }-1<r<1(|r|<1)\\ \ast \frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+\dots \\ r& =\frac{1}{x-1}\\ -1<r<1\\ -1<\frac{1}{x-1}<1\\ \frac{1}{x-1}& >-1\\ \frac{x}{x-1}& >0\\ \text{harga nol pembilang }\\ x& =0\\ \text{harga nol penyebut }\\ x-1& =0\\ x& =1\\ \text{jadi }x<0\text{ atau }x>1\\ \frac{1}{x-1}& <1\\ \frac{2-x}{x-1}& <0\\ \text{harga nol pembilang }\\ 2-x& =0\\ x& =2\\ \text{harga nol penyebut }\\ x-1& =0\\ x& =1\\ \text{jadi }x<1\text{ atau }x>2\\ \text{kedua tergabung menjadi irisan yaitu }x<0\text{ atau }x>2\\ \ast -1{<}^{3}log(2x-1)<1\\ {}^{3}log{3}^{-1}{<}^{3}log(2x-1){<}^{3}log3\\ 3^{-1}<2x-1<3\\ \frac{1}{3}<2x-1<3\\ \frac{4}{3}<2x<4\\ \frac{2}{3}<x<2\\ \ast a=x\text{ dan }{S}_{\mathrm{\infty }}=10\\ S_{\mathrm{\infty }}& =10\\ \frac{x}{1-r}& =10\\ 1-r& =\frac{x}{10}\\ r& =\frac{10-x}{10}\\ -1<r<1\\ -1<\frac{10-x}{10}<1\\ -10<10-x<10\\ -20<-x<0\\ \text{langsung }\\ -20<-x<0\\ 20>x>0\\ 0<x<20\\ \text{tidak langsung }\\ -20<-x\\ 20>x\\ x<20\\ -x<0\\ x>0\\ \text{jadi }0<x<20\end{array}$$

1. Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}n& =5\\ a& =81\\ U_n& =U_5=256\\ r& =\sqrt[5-1]{\frac{256}{81}}\\ & =\sqrt[4]{\frac{256}{81}}\\ & =\frac{4}{3}\\ S_5& =\frac{a(r^n-1)}{r-1}\\ & =\frac{81((\frac{4}{3}{)}^5-1)}{\frac{4}{3}-1}\\ & =\frac{3^4((\frac{4}{3}{)}^5-1)}{\frac{1}{3}}\\ & =3^5((\frac{4}{3}{)}^5-1)\\ & =3^5(\frac{4^5-1}{3^5})\\ & =4^5-1\\ & =1.023\\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m }\end{array}$$

1. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}a& =40\\ r& =\frac{1}{2}\\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti }{U}_5\\ \ast \text{cara 1}\\ U_5& =a{r}^{5-1}\\ & =40(\frac{1}{2}{)}^4\\ & =40(\frac{1}{16})\\ & =\frac{5}{2}\\ & =2,5\\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m }\\ \ast \text{cara 2}\\ \text{awal = }{U}_1& =40\\ \text{p1 = }{U}_2& =20\\ \text{p2 = }{U}_3& =10\\ \text{p3 = }{U}_4& =5\\ \text{p4 = }{U}_5& =2,5\\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m }\end{array}$$

1. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}a& =15\\ r& =\frac{2}{3}\\ PL& =2S_{\mathrm{\infty }}-a\\ & =2(\frac{a}{1-r})-a\\ & =2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15\\ & =2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15\\ & =90-15\\ & =75\\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m }\end{array}$$

1. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\text{pantulan awal }& =15\\ \text{pantulan kesatu }& =10\\ \text{pantulan kedua }& =\frac{20}{3}\\ \text{pantulan ketiga }& =\frac{40}{9}\\ a& =\frac{40}{9}\\ r& =\frac{2}{3}\\ PL& =2S_{\mathrm{\infty }}\\ & =2\frac{a}{1-r}\\ & =2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}})\\ & =2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}})\\ & =\frac{80}{3}\\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah }\frac{80}{3}m\end{array}$$

1. Populasi kelinci berlipat tiga di sebuah pulau. jumlah populasi kelinci pada tahun semula 6 ekor maka berapa jumlah populasi kelinci dalam 4 tahun?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}a& =6\\ r& =3\\ n-1& =4\\ \text{cara 1 }\\ u_n& =a{r}^{n-1}\\ & =6(3{)}^4\\ & =6(81)\\ & =486\\ \text{cara 2 }\\ n-1& =4\\ n& =5\\ \text{jadi }\\ \text{0 }& =U_1=6\\ \text{1 }& =U_2=18\\ \text{2 }& =U_3=54\\ \text{3 }& =U_4=162\\ \text{4 }& =U_5=486\\ \text{jadi jumlah populasi kelinci dalam 4 tahun adalah 486 ekor }\end{array}$$

1. Suatu jenis hewan langka mengalami penurunan jumlah populasi 1/3 dari jumlah tahun sebelumnya. Pada tahun 2021 diperkirakan jumlah hewan langka di suatu provinsi 729 ekor, berapakah perkiraan jumlah hewan itu pada tahun 2025?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}a& =729\\ r& =\frac{1}{3}\\ n-1& =4\\ \text{cara 1 }\\ u_n& =a{r}^{n-1}\\ & =729(\frac{1}{3}{)}^4\\ & =\frac{729}{81}\\ & =9\\ \text{cara 2 }\\ n-1& =4\\ n& =5\\ \text{jadi }\\ \text{2021 }& =U_1=729\\ \text{2022 }& =U_2=243\\ \text{2023 }& =U_3=81\\ \text{2024 }& =U_4=27\\ \text{2025 }& =U_5=9\\ \text{jadi perkiraan jumlah hewan itu pada tahun 2025 adalah 9 ekor }\end{array}$$

1. Sebuah motor dibeli dengan harga Rp 60.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi 3/4 dari tahun sebelumnya. berapa nilai jual dipakai 3 tahun?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}a& =\mathrm{60.000.000}\\ r& =\frac{3}{4}\\ n-1& =3\\ \text{cara 1 }\\ u_n& =a{r}^{n-1}\\ & =\mathrm{60.000.000}(\frac{3}{4}{)}^3\\ & =\frac{720}{64}\\ & =\mathrm{25.312.500}\\ \text{cara 2 }\\ n-1& =3\\ n& =4\\ \text{jadi }\\ \text{0 }& =U_1=\mathrm{60.000.000}\\ \text{1 }& =U_2=\mathrm{45.000.000}\\ \text{2 }& =U_3=\mathrm{33.750.000}\\ \text{3 }& =U_4=\mathrm{25.312.500}\\ \text{jadi nilai jual pada tahun 2025 adalah Rp. 25.312.500,00 }\end{array}$$

1. Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}a& =30\\ r& =2\\ n-1& =\frac{2\text{ jam }}{15\text{ menit }}\\ & =\frac{120\text{ menit }}{15\text{ menit }}\\ & =8\text{ (kali) }\\ \text{cara 1 }\\ u_n& =a{r}^{n-1}\\ & =30(2{)}^8\\ & =30(256)\\ & =7.680\\ \text{cara 2 }\\ n-1& =8\\ n& =9\\ \text{jadi }\\ \text{awal }& =U_1=30\\ \text{15 mnt }& =U_2=60\\ \text{30 mnt }& =U_3=120\\ \text{45 mnt }& =U_4=240\\ \text{60 mnt }& =U_5=480\\ \text{75 mnt }& =U_6=960\\ \text{90 mnt }& =U_7=1.920\\ \text{105 mnt }& =U_8=3.840\\ \text{120 mnt }& =U_9=7.680\\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 }\end{array}$$

1. Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 1/2 jam. Pada 2 jam akan mengalami 1/4 dari jumlah bakteri mati. Jika mula-mula 4 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 3 jam?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}a& =30\\ r& =2\\ n-1& =\frac{2\text{ jam }}{30\text{ menit }}\\ & =\frac{120\text{ menit }}{30\text{ menit }}\\ & =4\text{ (kali) }\\ \text{cara 1 }\\ u_n& =a{r}^{n-1}\\ & =4(2{)}^4\\ & =4(16)\\ & =64\\ \text{ karena setiap dua jam akan mati jika 1/4 dari jumlah bakteri itu maka }\\ u_4& =64-\frac{1}{4}\cdot 64=48\\ \text{anggapan 120 menit sebagai mula-mula maka 180 menit adalah 60 menit }\\ u_6& =48(2{)}^2=192\\ \text{cara 2 }\\ \text{awal }& =U_1=4\\ \text{30 mnt }& =U_2=8\\ \text{60 mnt }& =U_3=16\\ \text{90 mnt }& =U_4=32\\ \text{120 mnt (dianggap awal)}& =U_5=64-\frac{1}{4}\cdot 64=48\\ \text{150 mnt (30 menit)}& =U_6=96\\ \text{180 mnt (60 menit)}& =U_7=192\\ \text{jadi jumlah bakteri selama 3 jam adalah 192 }\end{array}$$

1. Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}a& =1.600\\ r& =\frac{1}{2}\\ n-1& =\frac{14.00-05.00}{3\text{ jam }}\\ & =\frac{9\text{ jam }}{3\text{ jam }}\\ & =3\text{ (kali) }\\ \text{cara 1 }\\ u_n& =a{r}^{n-1}\\ & =1.600(\frac{1}{2}{)}^3\\ & =1.600(\frac{1}{8})\\ & =200\\ \text{cara 2 }\\ n-1& =3\\ n& =4\\ \text{jadi }\\ \text{awal }& =U_1=1.600\\ \text{3 jam }& =U_2=800\\ \text{6 jam }& =U_3=400\\ \text{9 jam }& =U_4=200\\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram }\end{array}$$