Soal-Soal Matematika/Akar dan pangkat

Pangkat dua/Kuadrat

1. Hitunglah!

1. 8²
2. 42²
3. 151²

Jawaban

1. 8² = 64
2. 42² = 1,764
3. 151² = 22,801

Akar dua/Kuadrat

1. Hitunglah!

$$\begin{array}{cc}& 1.\sqrt{81}\\ & 2.\sqrt{2,916}\\ & 3.\sqrt{63,001}\end{array}$$

Jawaban

$$\begin{array}{cc}& 1.\sqrt{81}=9\\ & 2.\sqrt{2,916}=54\\ & 3.\sqrt{63,001}=251\end{array}$$

Pangkat tiga/Kubik

1. Hitunglah!

1. 6³
2. 64³
3. 324³

Jawaban

1. 6³ = 216
2. 64³ = 262,144
3. 324³ = 34,012,224

Akar tiga/Kubik

Pembahasan untuk mencari hasil dari akar tiga/Kubik

Data:

Pangkat tiga	Hasil	Pangkat tiga	Hasil
1	1	6	216
2	8	7	343
3	27	8	512
4	64	9	729
5	125	10	1,000

Langkah-langkahnya hasil dimulainya dari angka terakhir ke angka depan:

1. Untuk satuan, perhatikan satuan dari hasil masing-masing sesuai dengan berurutan sebagai berikut: 1 (1), 2 (8), 3 (7), 4 (4), 5 (5), 6 (6), 7 (3), 8 (2), 9 (9) dan 0 (0). Dalam satuan tersebut maka satuan bernilai tetap adalah 0, 1, 4, 5, 6 dan 9 sedangkan satuan berubah dan posisinya terbalik adalah 2, 3, 7 dan 8.
2. Untuk puluhan, ratusan, dsb. Sisipan tiga basis masing-masing, tiap basis hasil angka itu antara hasil sebelumnya dan sesudahnya dan terambil angka hasil sebelumnya contoh: 412 itu berarti antara 343 dan 512 jadi terambilnya 343 berarti 7.

1. Hitunglah!

$$\begin{array}{cc}& 1.\sqrt[3]{64}\\ & 2.\sqrt[3]{474,552}\\ & 3.\sqrt[3]{48,228,544}\end{array}$$

Jawaban

$$\begin{array}{cc}& 1.\sqrt[3]{64}=4\\ & 2.\sqrt[3]{474,552}=78\\ & 3.\sqrt[3]{48,228,544}=364\end{array}$$

Angka terakhir dalam berpangkat

	Pangkat 1	Pangkat 2	Pangkat 3	Pangkat 4
2	2	4	8	6
3	3	9	7	1
4	4	6	4	6
7	7	9	3	1
8	8	4	2	6
9	9	1	9	1

Keterangan

1. untuk pangkat 5,6,7, dst pasti berulang yang sama dengan keempat angka secara berurutan diatas data tsb.
2. untuk angka 0,1,5 dan 6 dimana hasil akhir angka terakhir selalu sama dengan angka satuan utamanya.

Nilai akar yang mendekati

Rumus: $\sqrt{a}=\frac{a+b}{2\sqrt{b}}$

NB:

1. b adalah bilangan kuadrat yang paling mendekati a.

1. Hitunglah!

$$\begin{array}{cc}& 1.\sqrt{80}\\ & 2.\sqrt{298}\end{array}$$

Jawaban

$$\begin{array}{cc}& 1.\sqrt{80}=\frac{80+81}{2\sqrt{81}}=\frac{161}{18}=8,94\\ & 2.\sqrt{298}=\frac{298+289}{2\sqrt{289}}=\frac{587}{34}=17,27\end{array}$$

Tambahan

Perakaran berulang	Hasil
$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\dots }}}$	$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$
$\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a-\dots }}}$	$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$
$\sqrt{a\cdot \sqrt{a\cdot \sqrt{a\cdot \dots }}}$	a
$\sqrt{\frac{a}{\sqrt{\frac{a}{\sqrt{\frac{a}{\dots }}}}}}$	$\sqrt[3]{a}$

$\sqrt{a\cdot \sqrt{a\cdot \sqrt{a\cdot \dots \cdot \sqrt{a}}}}=a^{\frac{2^n-1}{2^n}}$ (n = banyaknya jumlah akar)

Pecahan bersusun berulang

Bentuk: $\frac{a}{b+c\frac{a}{b+c\frac{a}{b+c\dots }}}$

$a+b+\frac{ab}{a+b+\frac{ab}{a+b+\dots }}=a\text{ dimana a lebih besar dari b }$

$\pm (a+b)-\frac{ab}{\pm (a+b)-\frac{ab}{\pm (a+b)-\dots }}=\pm a\text{ atau }\pm b$

Rumus

• (ax+b)(cx+d) = acx²+(ad+bc)x+bd
• (ax+b)² = a²x²+2abx+b²
• (ax-b)² = a²x²-2abx+b²
• (ax+b)(ax-b) = a²x²-b²x²
• $(\sqrt{a}\pm \sqrt{b}{)}^2=a^2+b^2\pm 2\sqrt{ab}$
• $\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$
• $\frac{1}{\sqrt{a}\pm \sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{a}\pm \sqrt{b}}\cdot \frac{\sqrt{a}\mp \sqrt{b}}{\sqrt{a}\mp \sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}\mp \sqrt{b}}{a-b}$

Hukum Pascal

1. $(a\pm b{)}^0=1$
2. $(a\pm b{)}^1=a\pm b$
3. $(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$
4. $(a\pm b{)}^3=a^3\pm 3a^{2}b+3a{b}^2\pm b^3$
5. $(a\pm b{)}^4=a^4\pm 4a^{3}b+6a^2{b}^2\pm 4a{b}^3+b^4$

dst

Hukum Pascal Kino

rumus jumlah pola ke-n: 3ⁿ

Pembagian istimewa

1

1. $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
2. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
3. $a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$
4. $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+\dots +a^2{b}^{n-3}+a{b}^{n-2}+b^{n-1})$

2

1. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
2. $a^4-b^4=(a+b)(a^3-a^{2}b+a{b}^2-b^3)$
3. $a^6-b^6=(a+b)(a^5-a^{4}b+a^3{b}^2-a^2{b}^3+a{b}^4-b^5)$
4. $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2-\dots -a^2{b}^{n-3}+a{b}^{n-2}-b^{n-1})$ (n harus bilangan genap)

3

1. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
2. $a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^{3}b+a^2{b}^2-a{b}^3+b^4)$
3. $a^7+b^7=(a+b)(a^6-a^{5}b+a^4{b}^2-a^3{b}^3+a^2{b}^4-a{b}^5+b^6)$
4. $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2-\dots +a^2{b}^{n-3}-a{b}^{n-2}+b^{n-1})$ (n harus bilangan ganjil)

Pembagian x

1. $a^2+b^2=(a-b)((a+b)+\frac{2b^2}{a-b})$
2. $a^3+b^3=(a-b)((a^2+ab+b^2)+\frac{2b^3}{a-b})$
3. $a^4+b^4=(a-b)((a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3)+\frac{2b^4}{a-b})=(a-b)((a+b)(a^2+b^2)+\frac{2b^4}{a-b})$
4. $a^n+b^n=(a-b)((a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+\dots +a^2{b}^{n-3}+a{b}^{n-2}+b^{n-1})+\frac{2b^n}{a-b})$