OSN Sekolah Menengah Pertama

contoh soal

1. Berapa hasil dari $\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\dots +\frac{1}{2023\times 2024}$?

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{Cara 1 }\\ \text{Perhatian }\frac{1}{n\times (n+1)}& =\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\ \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\dots +\frac{1}{2023\times 2024}& =(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots +(\frac{1}{2023}-\frac{1}{2024})\\ & =1-\frac{1}{2024}\\ & =\frac{2024}{2024}-\frac{1}{2024}\\ & =\frac{2024-1}{2024}\\ & =\frac{2023}{2024}\\ \text{Cara 2 }\\ \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\dots +\frac{1}{n\times (n+1)}& =\frac{n}{n+1}\\ \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\dots +\frac{1}{2023\times 2024}& =\frac{2023}{2024}\\ \end{array}$$

1. Berapa hasil dari $\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots }}}$?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots }}}& =x\\ (\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots }}}{)}^2& =x^2\\ 6+(\sqrt{6+\sqrt{6+\dots }})& =x^2\\ 6+x& =x^2\\ x^2-x-6& =0\\ (x-3)(x-2)& =0\\ x=3& \text{ atau }x=-2\\ \text{ jadi x adalah }3\\ \end{array}$$

1. Berapa hasil dari $\sqrt{20-\sqrt{20-\sqrt{20-\dots }}}$?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\sqrt{20-\sqrt{20+\sqrt{20-\dots }}}& =x\\ (\sqrt{20-\sqrt{20-\sqrt{20-\dots }}}{)}^2& =x^2\\ 20-(\sqrt{20-\sqrt{20-\dots }})& =x^2\\ 20-x& =x^2\\ x^2+x-20& =0\\ (x-4)(x+5)& =0\\ x=4& \text{ atau }x=-5\\ \text{ jadi x adalah }4\\ \end{array}$$

1. Berapa hasil dari $\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots }}}$??

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots }}}& =x\\ 2\sqrt{2\sqrt{2\dots }}& =x^2\\ \text{maka menjadi }\frac{x^2}{x}& =\frac{2\sqrt{2\sqrt{2\dots }}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\dots }}}}\\ x& =2\\ \end{array}$$

1. Berapa hasil dari $\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\dots }}}}}}$?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\dots }}}}}}& =x\\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\dots }}}}}& =x^2\\ \frac{8}{x}& =x^2\\ x^3& =8\\ x& =\sqrt[3]{8}\\ x& =2\\ \end{array}$$

1. Berapa hasil dari $\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}$?

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{Cara 1}\\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}& =\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\times 3^{\frac{1}{2}}}}}\\ & =\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}}\\ & =\sqrt{3\sqrt{3\times 3^{\frac{3}{4}}}}\\ & =\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}}\\ & =\sqrt{3\times 3^{\frac{7}{8}}}\\ & =\sqrt{3^{\frac{15}{8}}}\\ & =3^{\frac{15}{16}}\\ & =\sqrt[16]{3^{15}}\\ \text{Cara 2}\\ \text{Gunakan rumus }{a}^{\frac{2^n-1}{2^n}}\text{ n adalah banyaknya akar }\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}& =3^{\frac{2^4-1}{2^4}}\\ & =3^{\frac{16-1}{16}}\\ & =3^{\frac{15}{16}}\\ & =\sqrt[16]{3^{15}}\\ \end{array}$$

1. Berapa nilai x dari $\sqrt{4x+\sqrt{4x+\sqrt{4x+\dots }}}=9$?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\sqrt{4x+\sqrt{4x+\sqrt{4x+\dots }}}& =9\\ (\sqrt{4x+\sqrt{4x+\sqrt{4x+\dots }}}{)}^2& =(9{)}^2\\ 4x+(\sqrt{4x+\sqrt{4x+\dots }})& =81\\ 4x+9& =81\\ 4x& =72\\ x& =13\\ \end{array}$$

1. Berapa nilai x dari $\sqrt{7x+2-\sqrt{7x+2-\sqrt{7x+2-\dots }}}=12$?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\sqrt{7x+2-\sqrt{7x+2-\sqrt{7x+2-\dots }}}& =12\\ (\sqrt{7x+2-\sqrt{7x+2-\sqrt{7x+2-\dots }}}{)}^2& =(12{)}^2\\ 7x+2-(\sqrt{7x+2-\sqrt{7x+2-\dots }})& =144\\ 7x+2-12& =144\\ 7x& =154\\ x& =22\\ \end{array}$$

1. Berapa hasil dari $\frac{1}{2+3\frac{1}{2+3\frac{1}{2+3\dots }}}$?

Jawaban

$$\begin{array}{c}\frac{1}{2+3\frac{1}{2+3\frac{1}{2+3\dots }}}=\\ \text{Misalkan }\frac{1}{2+3\frac{1}{2+3\dots }}& =x\\ \frac{1}{2+3x}& =x\\ 1& =x(2+3x)\\ 1& =2x+3x^2\\ 3x^2+2x-1& =0\\ (3x-1)(x+1)& =0\\ x=\frac{1}{3}& \text{ atau }x=-1\\ \end{array}$$

1. Berapa hasil dari $7+\frac{16}{1+\frac{56}{1+\frac{56}{1+\frac{56}{1+\dots }}}}$?

Jawaban

$$\begin{array}{c}7+\frac{16}{1+\frac{56}{1+\frac{56}{1+\frac{56}{1+\dots }}}}=\\ \text{Misalkan }1+\frac{56}{1+\dots }& =x\\ 1+\frac{56}{x}& =x\\ x+56& =x^2\\ x^2-x-56& =0\\ (x-8)(x+7)& =0\\ x=8& \text{ atau }x=-7\\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi }x=8\\ 7+\frac{16}{8}& =7+2=9\\ \end{array}$$

1. Berapa hasil dari $x^2-3xy+y^2$ jika x+y = 7 dan xy = -4?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{x}^2-3xy+y^2& =x^2+2xy+y^2-5xy\\ & =(x+y{)}^2-5xy\\ & =7^2-5(-4)\\ & =49+20\\ & =69\\ \end{array}$$

1. Berapa hasil x dari $\frac{x-10}{2023}+\frac{x-9}{2024}+\frac{x-8}{2025}=3$?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\frac{x-10}{2023}+\frac{x-9}{2024}+\frac{x-8}{2025}& =3\\ \frac{x-10}{2023}+\frac{x-9}{2024}+\frac{x-8}{2025}& =1+1+1\\ \frac{x-10}{2023}-1+\frac{x-9}{2024}-1+\frac{x-8}{2025}-1& =0\\ \frac{x-10-2023}{2023}+\frac{x-9-2024}{2024}+\frac{x-8-2025}{2025}& =0\\ \frac{x-2033}{2023}+\frac{x-2033}{2024}+\frac{x-2033}{2025}& =0\\ (x-2033)(\frac{1}{2023}+\frac{1}{2024}+\frac{1}{2025})& =0\\ x-2033& =0\\ x& =2033\\ \end{array}$$

1. Berapa hasil x dari $\frac{x-17}{2026}+\frac{x-19}{2024}+\frac{x-21}{2022}=3$?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\frac{x-17}{2026}+\frac{x-19}{2024}+\frac{x-21}{2022}& =3\\ \frac{x-17}{2026}+\frac{x-19}{2024}+\frac{x-21}{2022}& =1+1+1\\ \frac{x-17}{2026}-1+\frac{x-19}{2024}-1+\frac{x-21}{2022}-1& =0\\ \frac{x-17-2026}{2026}+\frac{x-19-2024}{2024}+\frac{x-21-2022}{2022}& =0\\ \frac{x-2043}{2026}+\frac{x-2043}{2024}+\frac{x-2043}{2022}& =0\\ (x-2043)(\frac{1}{2026}+\frac{1}{2024}+\frac{1}{2022})& =0\\ x-2043& =0\\ x& =2043\\ \end{array}$$

1. Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?

• jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36
• dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6
• maka peluangnya adalah $P(a)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

1. Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?

• Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15)
• Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225
• Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225

1. Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?

• Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857…
• Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7.

1. Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?

• Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923…
• Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3.

1. Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}43a+20b-10c& =36\\ 2a-2b+19c& =-9\\ 45a+18b+9c& =27\text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))}\\ 5a+2b+c& =3\\ \end{array}$$

1. Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}f(16)& =f(3x-2)\\ 16& =3x-2\\ 3x& =18\\ x& =6\\ f(16)& =4(6)-7\\ & =17\\ f(7)& =f(3x-2)\\ 7& =3x-2\\ 3x& =9\\ x& =3\\ f(7)& =4(3)-7\\ & =5\\ f(16)-f(7)& =17-5\\ & =12\\ \end{array}$$