Kalkulus/Aljabar

Aturan aritmatika dan aljabar

Aturan-aturan berikut ini benar untuk semua a, b, dan c, dimana a, b, dan c merupakan angka, variabel, fungsi, atau persamaan lain yang lebih kompleks yang didalamnya terdapat angka, variabel, dan/atau fungsi.

Penjumlahan

• Sifat komutatif: $a+b=b+a$.
• Sifat asosiatif: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
• Identitas penjumlahan: $a+0=a$.
• Invers penjumlahan: $a+(-a)=0$.

Pengurangan

• Definisi: $a-b=a+(-b)$.

Perkalian

• Sifat komutatif: $a\times b=b\times a$.
• Sifat asosiatif: $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$.
• Identitas perkalian: $a\times 1=a$.
• Invers perkalian: $a\times \frac{1}{a}=1$, $a\ne 0$
• Sifat distributif: $a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$.

Pembagian

• Definisi: $\frac{a}{b}=a\times \frac{1}{b}$, $b\ne 0$.

Coba lihat contoh dibawah ini untuk melihat bagaimana aturan-aturan diatas dipraktikkan.

$\frac{(x+2)(x+3)}{x+3}$	= $[(x+2)\times (x+3)]\times \left(\frac{1}{x+3}\right)$ (dari definisi pembagian)
	= $(x+2)\times [(x+3)\times \left(\frac{1}{x+3}\right)]$ (dari sifat asosiatif perkalian)
	= $((x+2)\times (1)),x\ne -3$ (dari sifat invers perkalian)
	= $x+2,x\ne -3.$ (dari identitas perkalian)

Tentu saja, cara diatas jauh lebih panjang daripada hanya mencoret $x+3$ dari pembilang dan penyebut. Tapi, dengan mencoret, sebenarnya kamu juga melakukan tahapan diatas, hanya saja lebih dipersingkat. Dengan tahapan diatas, diharapkan kamu benar-benar memahami aturan-aturan yang ada.

Notasi interval

Ada beberapa sedikit perbedaan simbol yang dapat digunakan untuk menyatakan suatu interval (semua angka yang berada di antara 2 angka) spesifik tertentu. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan pertidaksamaan. Jika kita ingin menyatakan semua angka yang berada di antara, katakan, 2 dan 4, maka kita dapat menuliskannya "semua x yang memenuhi 2<x<4". Tanda ini menunjukkan bahwa titik 2 dan 4 tidak termasuk karena kita menggunakan tanda $\le$. Jika kita ingin memasukkan titik 2 dan 4 juga, maka kita menuliskannya dengan "semua x yang memenuhi $2\le x\le 4$".

Cara lain yang dapat digunakan untuk menuliskan interval ini adalah dengan menggunakan notasi interval. Jika kita ingin menuliskan "semua x yang memenuhi 2<x<4" maka kita dapat menuliskannya dengan (2,4). Dengan notasi ini, titik 2 dan 4 tidak termasuk dalam interval. Jika kita mau memasukkan titik 2 dan 4 juga, maka penulisannya menjadi [2,4]. Jika kita hanya ingin memasukkan titik 2 saja tanpa titik 4 ke dalam interval, maka penulisannya menjadi [2,4); jika hanya titik 4 saja tanpa titik 2, penulisannya menjadi (2,4].

Maka, kita memiliki beberapa notasi interval berikut ini:

Kondisi	Notasi pertidaksamaan	Notasi interval
2 dan 4 termasuk dalam penyelesaian	semua x yang memenuhi $2\le x\le 4$	$[2,4]$
2 dan 4 tidak termasuk dalam penyelesaian	semua x yang memenuhi $2<x<4$	$(2,4)$
2 termasuk tapi 4 tidak termasuk dalam penyelesaian	semua x yang memenuhi $2\le x<4$	$[2,4)$
2 tidak termasuk tapi 4 termasuk dalam penyelesaian	semua x yang memenuhi $2<x\le 4$	$(2,4]$

Secara umum, kita memiliki tabel berikut ini:

Arti	Notasi interval	Notasi set
Semua bilangan yang lebih besar atau sama dengan $a$ dan lebih kecil atau sama dengan $b$	$[a,b]$	$\{x:a\le x\le b\}$
Semua bilangan yang lebih besar dari $a$ dan lebih kecil dari $b$	$(a,b)$	$\{x:a<x<b\}$
Semua bilangan yang lebih besar atau sama dengan $a$ dan lebih kecil dari $b$	$[a,b)$	$\{x:a\le x<b\}$
Semua bilangan yang lebih besar dari $a$ dan lebih kecil atau sama dengan $b$	$(a,b]$	$\{x:a<x\le b\}$
Semua bilangan yang lebih besar atau sama dengan $a$.	$[a,\mathrm{\infty })$	$\{x:x\ge a\}$
Semua bilangan yang lebih besar dari $a$.	$(a,\mathrm{\infty })$	$\{x:x>a\}$
Semua bilangan yang lebih kecil atau sama dengan $a$.	$(-\mathrm{\infty },a]$	$\{x:x\le a\}$
Semua bilangan yang lebih kecil dari $a$.	$(-\mathrm{\infty },a)$	$\{x:x<a\}$
Semua bilangan memenuhi	$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$	$\{x:x\in ℝ\}$

Perlu dicatat bahwa $\mathrm{\infty }$ dan $-\mathrm{\infty }$ harus selalu memakai kurung biasa (bukan kurung siku) karena $\mathrm{\infty }$ bukan angka dan dengan begitu tidak termasuk dalam himpunan. $\mathrm{\infty }$ hanyalah sebuah simbol yang tujuannya hanya untuk memudahkan penulisan.

Interval dengan kurung biasa (a,b) disebut interval terbuka, dan interval dengan kurung siku [a,b] disebut interval tertutup.

Kita dapat menggunakan lambang $\in$ untuk menunjukkan apakah sebuah elemen termasuk di dalam interval. Contohnya, $2\in [1,3]$. Sedangkan, simbol $\notin$ digunakan apabila sebuah elemen tidak termasuk dalam interval. Sebagai contoh $0\notin (0,1)$.

Eksponen dan radikal

Ada beberapa aturan dalam eksponen dan radikal yang harus selalu anda ingat. Sebagai definisinya, jika n merupakan angka bulat positif maka $a^n$ menyatakan n faktor dari a. Maka:

$a^n=a\cdot a\cdot a\cdots a(n\text{kali}).$

Jika $a≠0$ maka kita dapat mengatakan bahwa $a^0=1$.

Jika n merupakan bilangan bulat positif maka kita dapat menyatakan $a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$

Jika kita mempunyai eksponen yang berupa bilangan pecahan maka kita dapat menyatakannya sebagai $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a}{)}^m.$

Berikut ini adalah beberapa aturan dalam eksponen:

Aturan	Contoh
$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$	$3^6\cdot 3^9=3^{15}$
$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$	$\frac{x^3}{x^2}=x^1=x$
$(a^n{)}^m=a^{n\cdot m}$	$(x^4{)}^5=x^{20}$
$(ab{)}^n=a^n{b}^n$	$(3x{)}^5=3^5{x}^5$
$(\frac{a}{b}{)}^n=\frac{a^n}{b^n}$	$(\frac{7}{3}{)}^3=\frac{7^3}{3^3}.$

Faktor dan akar faktor

Jika kita mempunyai pernyataan $x^2+3x+2$, maka mungkin muncul pertanyaan "berapa nilai x yang membuat pernyataan ini bernilai nol?". Jika kita memfaktorkannya maka kita akan mendapatkan:

$x^2+3x+2=(x+2)(x+1).$

Jika x=-1 atau -2, maka salah satu factor di sebelah kanan akan menjadi nol. Maka, nilai pernyataan tersebut pasti akan menjadi nol juga. Maka, dengan memfaktorkan kita dapat menemukan nilai x yang menjadikan penyataan tersebut bernilai nol. Nilai -1 dan -2 inilah yang disebut dengan "akar faktor". Secara umum, jika ada suatu polinomial kuadrat $p{x}^2+qx+r$ dengan faktor-faktornya

$p{x}^2+qx+r=(ax+c)(bx+d)$

Maka kita mempunyai nilai x=-c/a dan x=-d/b sebagai akar-akar polinomial.

Ada kasus khusus pada polinomial $a^2-b^2$. Pada pernyataan ini, kita dapat memfaktorkannya sebagai

$a^2-b^2=(a+b)(a-b).$

Sebagai contoh, $4x^2-9$. Kalau kita lihat, keduanya mempunyai akar kuadrat $(2x{)}^2=4x^2$ and $3^2=9$). Maka, dengan mengaplikasikan aturan diatas, kita dapat memfaktorkannya menjadi:

$4x^2-9=(2x+3)(2x-3).$

Rumus abc
Akar-akar dari persamaan kuadrat $a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0$ dapat dicari dengan rumus ABC, yaitu:
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Contoh Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat $4x^2+7x-2$

Jawaban: Dengan menggunakan rumus abc:$a=4,b=7,c=-2$, maka:
$x=\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4(4)(-2)}}{2(4)}$

$x=\frac{-7\pm \sqrt{49+32}}{8}$

$x=\frac{-7\pm \sqrt{81}}{8}$

$x=\frac{-7\pm 9}{8}$

$x=\frac{2}{8},x=\frac{-16}{8}$

$x=\frac{1}{4},x=-2$

Menyederhanakan pernyataan rasional

Anggaplah ada 2 polinomial:

$p(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$

dan

$q(x)=b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_0.$

Jika kita ingin membagi polinomial p(x) dengan q(x) maka akan menjadi:

$\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0}{b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_0}.$

Rasio dari 2 polinomial tersebut disebut dengan ekspresi rasional. Banyak di antaranya kita dapat menyederhanakannya, seperti misalnya $\frac{x^2-1}{x+1}.$. Kita dapat menyederhanakannya menjadi:

$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}=x-1,x\ne -1$

Beberapa rumus perkalian polinomial

Berikut ini adalah beberapa rumus perkalian polinomial yang (mungkin) harus anda ketahui untuk menyelesaikan polinomial:

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

$(a\pm b{)}^3=a^3\pm 3a^{2}b+3a{b}^2\pm b^3$

$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$

Pembagian polinomial

Jika kita ingin membagi polinomial satu dengan polinomial lainnya, maka kita dapat menggunakan pembagian bersusun.

Contoh Bagilah $x^2-2x-15$ dengan $x+3$!

Jawaban:

$\begin{array}{cc}& x-5\\ x+3& )\begin{array}{c}{x}^2-2x-15\end{array}\\ & -\underset{\_}{(x^2+3x)}\\ & -5x-15\\ & -\underset{\_}{(-5x-15)}\\ & 0\end{array}$