Aljabar abstrak

Teori grup

Definisi dasasr

Definisi: Misalkan $G$ himpunan tidak kosong.

• Operasi biner pada $G$ adalah pemetaan $\circ :G\times G\to G$. Notasi: $a\circ b\in G$ untuk $a,b\in G$.
• Suatu himpuan $G$ yang dilengkapi operasi biner $\circ$ disebut grupoid. Notasi: $(G,\circ )$

Contoh:

1. $(\mathbb{N},+),(\mathbb{Z},+),(\mathbb{N},\cdot )$ dan $(\mathbb{Z},\cdot )$.
2. $(𝕂,+)$ dan $(𝕂,\cdot )$, di mana $𝕂=\mathbb{Q},ℝ$ atau $ℂ$.

Definisi: Suatu grupoid $(G,\circ )$ disebut grup jika ia memenuhi hukum-hukum berikut:

• (G1) $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$ unuk semua $a,b,c\in G$. (Hukum assotiatif)
• (G2) Terdapat suatu anggota $e\in G$ sehingga $a\circ e=e\circ a=a$ untuk semua $a\in G$. ($e$ disebut anggota identitas)
• (G3) Terdapat suatu anggota identitas $e\in G$ sehingga: untuk setiap $a\in G$ terdapat suatu $b\in G$ sehingga $a\circ b=b\circ a=e$. (Hukum invers, Notasi $b=a^{-1}$)

Suatu grup $(G,\circ )$ adalah grup Abelian (atua grup komutatif) jika itu memnuhi jugaasi

• (G4) $a\circ b=b\circ a$ untuk semua $a,b\in G$. (Hukum komutatif)

Catatan

Untuk mendefinisikan grup kita dapat menganti (G2) dan (G3) dengan (G2)' dan (G3)' berikut:

• (G2)' Terdapat suatu anggota $e\in G$ sehingga $a\circ e=a$ untuk semua $a\in G$. ($e$ disebut anggota identitas kanan)
• (G3)' Terdapat suatu anggota identitas kanan $e\in G$ sehingga: untuk setiap $a\in G$ terdapat suatu $b\in G$ sehingga $a\circ b=e$. (Hukum invers kanan)

Kita membuktikan fakta di atas sebagai Lemma 1, Lemma 2 dan Lemma 3.

Lemma 1: Misalkan $(G,\circ )$ memenuhu (G1) , (G2)' dan (G3)' dengan anggota identitas kanan $e\in G$ dari (G3)' . Jika $a,b\in G$ memenuhi $a\circ b=e$ maka $b\circ a=e$.

Bukti: Dengan (G3)' terdapat $c\in G$ sehingga $b\circ c=e$. Akibatnya dengan (G1) dan (G2)'

$e=b\circ c=(b\circ e)\circ c=(b\circ (a\circ b))\circ c=((b\circ a)\circ b)\circ c=(b\circ a)\circ (b\circ c)=(b\circ a)\circ e=b\circ a$. □

Lemma 2: Misalkan $(G,\circ )$ memenuhu (G1) , (G2)' dan (G3)' dengan anggota identitas kanan $e\in G$ dari (G3)' . Maka $e\circ a=a$ untuk semua $a\in G$.

Bukti: Misalkan $a\in G$. Dengan (G3)' terdapat $b\in G$ sehingga $a\circ b=e$. Dengan menggunakan Lemma 1 juga $b\circ a=e$. Oleh karena itu dengan (G1) dan (G2)'

$e\circ a=(b\circ a)\circ a=b\circ (a\circ b)=b\circ e=b.$ □

Lemma 3: Misalkan $(G,\circ )$ memenuhu (G1) , (G2)' dan (G3)' . Jika terdapat hanya satu anggota identitas.

Bukti: Misalkan $e\in G$ dari (G3)' dan $e^{\prime }\in G$ juga suatu anggota identitas. Karena $a\circ e^{\prime }=e^{\prime }$ untuk semua $a\in G$ dengan (G2)' maka $e\circ e^{\prime }=e^{\prime }$. Dengan Lemma 2 untuk $a=e^{\prime }$ didapat juga $e\circ e^{\prime }=e$. Oleh karena itu $e^{\prime }=e$. □

Sifat-Sifat

Teorema (Sifat kanselasi): Misalkan $a,b,c\in G$.

1. Jika $a\circ b=a\circ c$ maka $b=c$.
2. Jika $b\circ a=c\circ a$ maka $b=c$.

Bukti: Dengan (G3) terdapat $d\in G$ sehingga $a\circ d=\circ d\circ a=e$. Oleh karena itu jika $a\circ b=a\circ c$ maka dengan (G1)

$b=e\circ b=(d\circ a)\circ b=d\circ (a\circ b)=d\circ (a\circ c)=(d\circ a)\circ c=e\circ c=c.$

Jika $b\circ a=c\circ a$ maka dengan (G1) dan (G2)

$b=b\circ e=b\circ (a\circ d)=(b\circ a)\circ d=(c\circ a)\circ d=c\circ (a\circ d)=c\circ e=c.$ □

Teorema $(a^{-1}{)}^{-1}=a$.

Bukti: $a^{-1}\circ a=a\circ a^{-1}$ dari Definisi $a^{-1}$ yang berarti bahwa $a$ elemen invers untuk $a^{-1}$. □

Grup bagian

Definisi: Misalkan $(G,\circ )$ grup. Suatu himpunan bagian $H\subseteq G$ disebut grup bagian (persisnya $(H,\circ )$ grup bagian $(G,\circ )$), jika ia memenuhi sifat-sifat berikut:

1. $e\in H$.
2. Jika $a,b\in H$ maka $a\circ b\in H$.
3. Jika $a\in H$ maka $a^{-1}\in H$.

Teorema: Misalkan $(G,\circ )$ grup dan $H\subseteq G$ himpuan bagian tidak kosong. $(H,\circ )$ grup bagian jika dan hanya jika $a\circ b^{-1}\in H$ untuk semua $a,b\in H$.

Bukti: Misalkan $(H,\circ )$ grup bagian dan $a,b\in H$. Dari 3 Definisi di atas $b^{-1}\in H$ dan dari 2 juga $a\circ b^{-1}\in H$. Sebaliknya misalkan $a\circ b^{-1}\in H$ untuk semua $a,b\in H$. Kita memeriksa Definisi 1, 2 dan 3. Karena $H$ tidak kosong, ada $a\in H$. 1 benar karena $e=a\circ a^{-1}\in H$. 3 benar karena $a^{-1}=e\circ a^{-1}\in H$. 2 juga benar karena $a\circ b=a\circ (b^{-1}{)}^{-1}\in H$.□