Soal-Soal Matematika/Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

Sistem persamaan

bentuk

ax²+bx+c=0

Nilai hasil akar

Nilai hasil akar terdiri dari tiga jenis yaitu memfaktorkan, pengkuadratan serta rumus ABC.

contoh

1. tentukan nilai akar dari persamaan x²-16x+55=0!

cara 1

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{x}^2-16x+55& =0\\ \text{hasil faktor tersebut adalah -5 dan -11}\\ (x-5)(x-11)=0\\ x-5=0& \text{ atau }x-11=0\\ x=5& x=11\\ \end{array}$$

cara 2

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{x}^2-16x+55& =0\\ x^2-16x& =-55\\ x^2-16x+64& =-55+64\\ (x-8{)}^2& =9\\ x-8& =\pm \sqrt{9}\\ x-8& =\pm 3\\ x-8=3& \text{ atau }x-8=-3\\ x=11& x=5\\ \end{array}$$

cara 3

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{x}^2-16x+55& =0\\ x& =\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\\ x& =\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x& =\frac{-(-16)\pm \sqrt{(-16{)}^2-4(1)(55)}}{2(1)}\\ & =\frac{16\pm \sqrt{256-220}}{2}\\ & =\frac{16\pm \sqrt{36}}{2}\\ & =\frac{16\pm 6}{2}\\ & =8\pm 3\\ x=8+3& \text{ atau }x=8-3\\ x=11& x=5\\ \end{array}$$

Sifat akar

bentuk:

ax²+bx+c=0

x²+b/ax+c/a=0

dengan menggunakan (x-x1)(x-x2)

(x-x1)(x-x2)=0

x²-(x1+x2)x+x1x2=0

x²-(-b/a)x+c/a=0

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

contoh

1. tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah -2 dan 5!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{x}_1& =-2\\ x_2& =5\\ x_1+x_2& =-2+5=3\\ x_1\cdot x_2& =-2\cdot 5=-10\\ \text{ jadi persamaan kuadrat adalah }{x}^2-3x-10=0\\ \end{array}$$

1. tentukan jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat adalah x^{2-12x+20 = 0!}

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{x}^2-12x+20& =0\\ x_1+x_2& =-(\frac{-12}{1})\\ x_1+x_2& =12\\ x_1\cdot x_2& =\frac{20}{1}\\ x_1\cdot x_2& =20\\ \text{ jadi jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat adalah }12\text{ dan }20\\ \end{array}$$

1. tentukan nilai p dari persamaan x²-8x+p=0 dimana salah satu akarnya 2 lebih dari akar lainnya!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{x}_1& =x_2+2\\ x_1-x_2& =2\\ x_1+x_2& =8\\ x_1-x_2& =2\\ \text{eliminasi kedua akar persamaan.}\\ 2x_2& =6\\ x_2& =3\\ x_1-x_2& =2\\ x_1-3& =2\\ x_1& =5\\ x_1\cdot x_2& =p\\ 5(3)& =p\\ p& =15\\ \end{array}$$

Persamaan kuadrat baru

bentuk

x' = x diubah menjadi x = x' dengan menggunakan sifat akar.

Persamaan kuadrat baru

Pernyataan	Akar lama	Akar baru	Persamaan kuadrat baru
lebihnya dari	x'=x+p	x=x'-p	a(x'-p)2+b(x'-p)+c=0
kurangnya dari	x'=x-p	x=x'+p	a(x'+p)2+b(x'+p)+c=0
kalinya dari	x'=px	x=x'/p	a(x')2+bpx'+cp2=0
baginya dari	x'=x/p	x=px'	ap2(x')2+bpx'+c=0
berlawanan	x'=-x	x=-x'	a(x')2-bx'+c=0
kebalikan	x'=1/x	x=1/x'	c(x')2+bx'+a=0
kuadratnya	x=(x')2	$x^{\prime }=\sqrt{x}$	a2(x')2-(b2-2ac)x'+c2=0
akarnya	$x=\sqrt{x^{\prime }}$	(x')=x2	a(x')4-b(x')2+c=0

contoh

1. tentukan persamaan kuadrat baru dari 2x²-3x+1=0 yang akar-akarnya p-2 dan q-2!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}p+q=\frac{3}{2}& \text{dan}pq=\frac{1}{2}\\ x_1=p-2& \text{dan}{x}_2=q-2\\ x_1+x_2& =p-2+q-2\\ & =p+q-4=\frac{3}{2}-4=-\frac{5}{2}\\ x_1\cdot x_2& =(p-2)\cdot (q-2)\\ & =pq-2(p+q)+4\\ & =\frac{5}{2}-2\cdot \frac{3}{2}+4\\ & =\frac{5-6+8}{2}\\ & =\frac{7}{2}\\ x^2-(-\frac{5}{2})x+\frac{7}{2}=0\\ 2x^2+5x+7=0\\ \end{array}$$

1. tentukan persamaan kuadrat baru dari x²-x+3=0 yang akar-akarnya pq dan p+q!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}p+q=1& \text{dan}pq=3\\ x_1=pq& \text{dan}{x}_2=p+q\\ x_1+x_2& =pq+p+q\\ & =3+1=4\\ x_1\cdot x_2& =pq\cdot (p+q)\\ & =3\cdot 1=3\\ x^2-4x+3=0\\ \end{array}$$

1. tentukan persamaan kuadrat baru dari 5x²+2x-1=0 yang akar-akarnya 1/q dan 1/q!

Jawaban

$$\begin{array}{cc}p+q=-\frac{2}{5}& \text{dan}pq=-\frac{1}{5}\\ x_1=\frac{1}{p}& \text{dan}{x}_2=\frac{1}{q}\\ x_1+x_2& =\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\\ & =\frac{p+q}{pq}\\ & =\frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{1}{5}}\\ & =2\\ x_1\cdot x_2& =\frac{1}{p}\cdot \frac{1}{q}\\ & =\frac{1}{pq}\\ & =\frac{1}{-\frac{1}{5}}\\ & =-5\\ x^2-2x-5=0\\ \end{array}$$

Diskriminan dan kriteria akar-akar

Diskriminan (D) = b²-4ac

Kriteria akar-akar

Pernyataan	Kriteria
Kedua akar riil yang berbeda (D>0)
bertanda positif	x1+x2>0 dan x1x2>0
bertanda negatif	x1+x2<0 dan x1x2>0
berlawanan	x1x2<0
Akar riil yang sama (D=0)
berlawanan	b=0
kebalikan	c=a
Akar imajiner (D<0)

contoh

1. tentukan nilai b yang memenuhi persamaan x²+(b-8)x+(b+3)=0 yang memiliki kedua akar yang berbeda dan bertanda positif!

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{kedua akar real yang berbeda dan bertanda positif memiliki 3 syarat yaitu}\\ *D& >0\\ (b-8{)}^2-4(1)(b+3)& >0\\ b^2-16x+64-4b-12& >0\\ b^2-20b+52& >0\\ \text{harga nol}{b}^2-20b+52& =0\\ b& =\frac{20\pm \sqrt{(-20{)}^2-4(1)(52)}}{2}\\ & =\frac{20\pm \sqrt{400-208}}{2}\\ & =\frac{20\pm \sqrt{192}}{2}\\ & =\frac{20\pm 8\sqrt{3}}{2}\\ & =10\pm 4\sqrt{3}\\ 10-4\sqrt{3}& <b& <10+4\sqrt{3}\\ *x_1+x_2& >0\\ -(b-8)& >0\\ 8-b& >0\\ b& <8\\ *x_1\cdot x_2& >0\\ b+3& >0\\ b& >-3\\ \text{nilai b yang memenuhi adalah}10-4\sqrt{3}<b<8\\ \end{array}$$

catatan grafik irisan:

• jawaban 1

• • grafik arsiran 1

	$10-4\sqrt{3}$		$10+4\sqrt{3}$
——		+++		——

• • grafik arsiran 2

	8
——		+++

• • grafik arsiran 3

	-3
——		+++

• • grafik irisan arsiran 1, 2 dan 3

	-3		$10-4\sqrt{3}$		8		$10+4\sqrt{3}$
				A		A
A		A		A
		A		A		A		A

Persamaan parabola

	Vertikal	Horisontal
	Titik pusat (0,0)
Persamaan	$x^2=4py$	$y^2=4px$
Sumbu simetri	sumbu y	sumbu x
Fokus	$F(0,p)$	$F(p,0)$
Direktris	$y=-p$	$x=-p$
	Titik pusat (h,k)
Persamaan	$(x-h{)}^2=4p(y-k)$	$(y-k{)}^2=4p(x-h)$
Sumbu simetri	$x=h$	$y=k$
Fokus	$F(h,k+p)$	$F(h+p,k)$
Direktris	$y=k-p$	$x=h-p$

Persamaan garis singgung

bergradien $m$ ($y=mx+c$)

Vertikal	Horisontal
Titik pusat (0,0)
$y=mx-pm$	$y=mx+\frac{p}{m}$
Titik pusat (h,k)
$(y-k)=m(x-h)-pm$	$(y-k)=m(x-h)+\frac{p}{m}$

jika persamaan garis lurus bergradien sejajar maka $m_2=m_1$

jika persamaan garis lurus bergradien tegak lurus maka $m_2=\frac{-1}{m_1}$

melalui titik $(x_1,y_1)$

dengan cara bagi adil

Vertikal	Horisontal
Titik pusat (0,0)
$x{x}_1=2py+2p{y}_1$	$y{y}_1=2px+2p{x}_1$
Titik pusat (h,k)
$(x-h)(x_1-h)=2p(y-k)+2p(y_1-k)$	$(y-k)(y_1-k)=2p(x-h)+2p(x_1-h)$

jika titik $(x_1,y_1)$ berada di dalam bentuknya maka ada 1 persamaan garis singgung (1 langkah).

jika titik $(x_1,y_1)$ berada di luar bentuknya maka ada 2 persamaan garis singgung (2 langkah) dimana hasil y dari persamaan singgung pertama masuk ke persamaan kuadrat/parabola untuk mencari x.

contoh

Titik pusat (0,0)

• Tentukan persamaan garis singgung yang bergradien 2 terhadap $y^2=16x$!

jawab:

$y^2=16x->y^2=4(4x)\text{ jadi }p=4$

$y=mx+\frac{p}{m}$

$y=2x+\frac{4}{2}$

$y=2x+2$

• Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (4,8) terhadap $y^2=16x$!

jawab:

$y^2=16x->y^2=4(4x)\text{ jadi }p=4$

$y^2-16x=0\text{ maka masukkan lah (4,8) }(8{)}^2-16(4)=0=0$ (dalam)

dengan cara bagi adil

$y{y}_1=2px+2p{x}_1$

$8y=2(4)x+2(4)(4)$

$8y=8x+32$ (dibagi 8)

$y=x+4$

• Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,5) terhadap $y^2=16x$!

jawab:

$y^2=16x->y^2=4(4x)\text{ jadi }p=4$

$y^2-16x=0\text{ maka masukkan lah (1,5) }(5{)}^2-16(1)=9>0$ (luar)

dengan cara bagi adil

$y{y}_1=2px+2p{x}_1$

$5y=2(4)x+2(4)(1)$

$5y=8x+8$

$y=\frac{8}{5}x+\frac{8}{5}$

masukkan lah $y^2=16x$

$(\frac{8}{5}x+\frac{8}{5}{)}^2=16x$

$\frac{64}{25}{x}^2+\frac{128}{25}x+\frac{64}{25}-16x=0$

$\frac{64}{25}{x}^2+\frac{128}{25}x+\frac{64}{25}-\frac{400}{25}x=0$

$\frac{64}{25}{x}^2-\frac{272}{25}x+\frac{64}{25}=0$ (dibagi 16/25)

$4x^2-17x+4=0$

maka kita mencari nilai x

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\frac{17\pm \sqrt{289-256}}{8}$

$x=\frac{17\pm \sqrt{33}}{8}$

$x_1=\frac{17+\sqrt{33}}{8}$ atau $x_2=\frac{17-\sqrt{33}}{8}$

maka kita mencari nilai y

untuk $x_1$

$y_1=\frac{8}{5}(\frac{17+\sqrt{33}}{8})+\frac{8}{5}$

$y_1=\frac{17}{5}+\frac{\sqrt{33}}{5}+\frac{8}{5}$

$y_1=5+\frac{\sqrt{33}}{5}$

jadi $(\frac{17+\sqrt{33}}{8},5+\frac{\sqrt{33}}{5})$

untuk $x_2$

$y_2=\frac{8}{5}(\frac{17-\sqrt{33}}{8})+\frac{8}{5}$

$y_2=\frac{17}{5}-\frac{\sqrt{33}}{5}+\frac{8}{5}$

$y_2=5-\frac{\sqrt{33}}{5}$

jadi $(\frac{17-\sqrt{33}}{8},5-\frac{\sqrt{33}}{5})$

kembali dengan cara bagi adil

untuk persamaan singgung pertama

$y{y}_1=2px+2p{x}_1$

$(5+\frac{\sqrt{33}}{5})y=2(4)x+2(4)(\frac{17+\sqrt{33}}{8})$

$(5+\frac{\sqrt{33}}{5})y=8x+17+\sqrt{33}$

untuk persamaan singgung kedua

$y{y}_2=2px+2p{x}_2$

$(5-\frac{\sqrt{33}}{5})y=2(4)x+2(4)(\frac{17-\sqrt{33}}{8})$

$(5-\frac{\sqrt{33}}{5})y=8x+17-\sqrt{33}$

Titik pusat (h,k)

• Tentukan persamaan garis singgung $y^2-6y-8x+9=0$ melalui persamaan yang tegak lurus $y-2x-5=0$!

jawab: ubah ke bentuk sederhana

$y^2-6y-8x+9=0$

$y^2-6y+9=8x$

$(y-3{)}^2=8x$

cari gradien persamaan $y-2x-5=0$

$y-2x-5=0$

$y=2x+5$

gradien ($m_1$) = 2 karena tegak lurus menjadi $m_2=-\frac{1}{2}$

cari $p$

$(y-3{)}^2=8x->(y-3{)}^2=4(2x)\text{ jadi }p=2$

$y=mx+\frac{p}{m}$

$y=-\frac{1}{2}x+\frac{2}{-\frac{1}{2}}->y=-\frac{1}{2}x-4$

• Tentukan persamaan garis singgung $y^2-6y-8x+9=0$ yang berordinat 6!

jawab: ubah ke bentuk sederhana

$y^2-6y-8x+9=0$

$y^2-6y+9=8x$

$(y-3{)}^2=8x$

cari absis dimana ordinat 6

$(y-3{)}^2=8x$

$(6-3{)}^2=8x$

$9=8x$

$x=\frac{9}{8}$

$(y-3{)}^2=8x->(y-3{)}^2=4(2x)\text{ jadi }p=2$

dengan cara bagi adil

$(y-k)(y_1-k)=2px+2p{x}_1$

$(y-3)(6-3)=2(2)x+2(2)(\frac{9}{8})$

$(y-3)3=4x+\frac{9}{2}$

$3y-9=4x+\frac{9}{2}$

$3y=4x+\frac{27}{2}$

$y=\frac{4}{3}x+\frac{27}{6}$

• Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,6) terhadap $y^2-6y-8x+9=0$!

ubah ke bentuk sederhana

$y^2-6y-8x+9=0$

$y^2-6y+9=8x$

$(y-3{)}^2=8x$

$(y-3{)}^2=8x->(y-3{)}^2=4(2x)\text{ jadi }p=2$

$(y-3{)}^2-8x=0\text{ maka masukkan lah (1,6) }(6-3{)}^2-8(1)=9-8=1>0$ (luar)

dengan cara bagi adil

$(y-k)(y_1-k)=2px+2p{x}_1$

$(y-3)(6-3)=2(2)x+2(2)(1)$

$(y-3)3=4x+4$

$3y-9=4x+4$

$3y=4x+13$

$y=\frac{4}{3}x+\frac{13}{3}$

masukkan lah $(y-3{)}^2=8x$

$(\frac{4}{3}x+\frac{13}{3}-3{)}^2=8x$

$(\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}{)}^2=8x$

$\frac{16}{9}{x}^2+\frac{32}{9}x+\frac{16}{9}-8x=0$

$\frac{16}{9}{x}^2-\frac{40}{9}x+\frac{16}{9}=0$ (dibagi 8/9)

$2x^2+5x+2=0$

maka kita mencari nilai x

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\frac{5\pm \sqrt{25-16}}{4}$

$x=\frac{5\pm \sqrt{9}}{4}$

$x_1=\frac{5+\sqrt{9}}{4}=2$ atau $x_2=\frac{5-\sqrt{9}}{4}=\frac{1}{2}$

maka kita mencari nilai y

untuk $x_1$

$y_1=\frac{4}{3}(2)+\frac{13}{3}=\frac{8}{3}+\frac{13}{3}=7$

jadi $(2,7)$

untuk $x_2$

$y_2=\frac{4}{3}(\frac{1}{2})+\frac{13}{3}=\frac{2}{3}+\frac{13}{3}=5$

jadi $(\frac{1}{2},5)$

kembali dengan cara bagi adil

untuk persamaan singgung pertama

$(y-k)(y_1-k)=2px+2p{x}_1$

$(y-3)(7-3)=2(2)x+2(2)(2)$

$(y-3)4=4x+8$

$4y-12=4x+8$

$4y=4x+20$ (dibagi 4)

$y=x+5$

untuk persamaan singgung kedua

$(y-k)(y_2-k)=2px+2p{x}_2$

$(y-3)(5-3)=2(2)x+2(2)(\frac{1}{2})$

$(y-3)2=4x+2$

$2y-6=4x+2$

$2y=4x+8$ (dibagi 2)

$y=2x+4$