OSN Sekolah Menengah Atas

contoh soal

1. Berapa hasil dari $\sqrt{2015\cdot 2017\cdot 2023\cdot 2025+64}$?

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{Misalkan 2020 = p}\\ \sqrt{2015\cdot 2017\cdot 2023\cdot 2025+64}& =\sqrt{(2020-5)\cdot (2020-3)\cdot (2020+3)\cdot (2020+5)+64}\\ & =\sqrt{(p-5)\cdot (p-3)\cdot (p+3)\cdot (p+5)+64}\\ & =\sqrt{(p-5)\cdot (p+5)\cdot (p-3)\cdot (p+3)+64}\\ & =\sqrt{(p^2-25)\cdot (p^2-9)+64}\\ & =\sqrt{p^4-34p^2+225+64}\\ & =\sqrt{p^4-34p^2+289}\\ & =\sqrt{(p^2-17{)}^2}\\ & =p^2-17\\ & =2020^2-17\\ & =(2000+20{)}^2-17\\ & =4.000.000+80.000+400-17\\ & =4.080.383\\ \end{array}$$

1. Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴?

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{Perhatikan angka satuannya}\\ 17^1& =7\\ 17^2& =9\\ 17^3& =3\\ 17^4& =1\\ 17^5& =7\\ 17^6& =9\\ 17^7& =3\\ 17^8& =1\\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1}\end{array}$$

1. Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{Perhatikan }\\ 1!+2!+3!+4!+\dots +2024!& =1+(1x2)+(1x2x3)+(1x2x3x4)+\dots +2024!\\ & =1+2+6+24+120+720+\dots +2024!\\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka }1+2+6+24=33\text{ jadi angka satuannya adalah }3\end{array}$$

1. Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?

Jawaban

$$\begin{array}{c}\text{Perhatikan}\\ \frac{1!+2!+3!+4!+\dots +2024!}{12}& =\frac{1+1x2+1x2x3+1x2x3x4+\dots +2024!}{12}\\ & =\frac{1+2+6+24+\dots +2024!}{12}\\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi }1+2+6=9\end{array}$$

1. Berapakah nilai dari $\frac{20abc}{ab+bc+ac}$ jika $16^a=256^b=625^c=40$?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}16^a=256^b=625^c& =40\\ 2^{4a}=4^{4b}=5^{4c}& =40\\ 2^{4a}& =40\\ 2& =40^{\frac{1}{4a}}\\ 4^{4b}& =40\\ 4& =40^{\frac{1}{4b}}\\ 5^{4c}& =40\\ 5& =40^{\frac{1}{4c}}\\ 2\cdot 4\cdot 5& =40^{\frac{1}{4a}}\cdot 40^{\frac{1}{4b}}\cdot 40^{\frac{1}{4c}}\\ 40& =40^{\frac{1}{4a}}\cdot 40^{\frac{1}{4b}}\cdot 40^{\frac{1}{4c}}\\ 40& =40^{\frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{4c}}\\ 1& =\frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{4c}\\ 4& =\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\\ \frac{20abc}{ab+bc+ac}& =20\cdot \frac{abc}{ab+bc+ac}\\ & =20\cdot (\frac{ab+bc+ac}{abc}{)}^{-1}\\ & =20\cdot (\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}{)}^{-1}\\ & =20\cdot (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}{)}^{-1}\\ & =20\cdot (4{)}^{-1}\\ & =20\cdot \frac{1}{4}\\ & =5\\ \end{array}$$

1. Berapakah nilai dari $27x^3+\frac{8}{x^3}$ jika $3x+\frac{2}{x}=6$?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}3x+\frac{2}{x}& =6\\ (3x+\frac{2}{x}{)}^3& =6^3\\ 27x^3+3(3x)(\frac{2}{x})(3x+\frac{2}{x})+\frac{8}{x^3}& =216\\ 27x^3+18(6)+\frac{8}{x^3}& =216\\ 27x^3+108+\frac{8}{x^3}& =216\\ 27x^3+\frac{8}{x^3}& =108\\ \end{array}$$

1. Berapakah nilai dari $4x+\frac{25}{x}$ jika $2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}$?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}& =4x-\frac{25}{x}\\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}& =(2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})\\ 1& =2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}\\ 1^2& =(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}{)}^2\\ 1& =4x-20+\frac{25}{x}\\ 4x+\frac{25}{x}& =21\\ \end{array}$$

1. Berapakah nilai dari $si{n}^{3}x+cs{c}^{3}x$ jika $sinx-cscx=8$?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\text{ Dengan menggunakan rumus: }(a-b{)}^3& =a^3-b^3-3ab(a-b)\\ (sinx-cscx{)}^3& =si{n}^{3}x-cs{c}^{3}x-3sinxcscx(sinx-cscx)\\ 8^3& =si{n}^{3}x-cs{c}^{3}x-3sinx(\frac{1}{sinx})(8)\\ 512& =si{n}^{3}x-cs{c}^{3}x-24\\ si{n}^{3}x-cs{c}^{3}x& =512+24\\ si{n}^{3}x-cs{c}^{3}x& =536\\ \end{array}$$

1. Berapakah nilai dari $\frac{7^{2025}-7^{2023}+432}{7^{2024}+7^{2023}+72}$?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\frac{7^{2025}-7^{2023}+432}{7^{2024}+7^{2023}+72}& =\frac{7^{2023}{7}^2-7^{2023}+48\times 9}{7^{2023}{7}^1+7^{2023}+8\times 9}\\ & =\frac{7^{2023}(7^2-1)+48\times 9}{7^{2023}(7^1+1)+8\times 9}\\ & =\frac{7^{2023}(49-1)+48\times 9}{7^{2023}(7+1)+8\times 9}\\ & =\frac{7^{2023}\times 48+48\times 9}{7^{2023}\times 8+8\times 9}\\ & =\frac{48(7^{2023}+9)}{8(7^{2023}+9)}\\ & =\frac{48}{8}\\ & =6\\ \end{array}$$

1. Berapakah nilai dari $\frac{a}{b}$ jika $\frac{a^2}{a^2-16b^2}=\frac{625}{49}$?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\frac{a^2}{a^2-16b^2}& =\frac{625}{49}\\ \frac{a^2-16b^2}{a^2}& =\frac{49}{625}\text{ (terbalik posisinya)}\\ 1-\frac{16b^2}{a^2}& =\frac{49}{625}\\ \frac{16b^2}{a^2}& =1-\frac{49}{625}\\ (\frac{4b}{a}{)}^2& =\frac{576}{625}\\ (\frac{4b}{a}{)}^2& =(\frac{24}{25}{)}^2\\ \frac{4b}{a}& =\frac{24}{25}\\ \frac{b}{a}& =\frac{6}{25}\\ \frac{a}{b}& =\frac{25}{6}\\ \end{array}$$

1. Berapakah nilai dari x jika $4^x=63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1$?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}{4}^x& =63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1\\ 4^x-1& =63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)\\ 4^x-1& =63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)\frac{4^3-1}{4^3-1}\\ 4^x-1& =63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)\frac{4^3-1}{63}\\ 4^x-1& =(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1)\\ 4^x-1& =(4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)\\ 4^x-1& =(4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1)\\ 4^x-1& =(4^{12}-1)(4^{12}+1)\\ 4^x-1& =4^{24}-1\\ 4^x& =4^{24}\\ x& =24\\ \end{array}$$

1. Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari $\frac{c-b}{a-1}$?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}f(x)& =a{x}^2+bx+c\\ f(2)& =a(2{)}^2+2b+c=4\\ f(2)& =4a+2b+c=4\\ f(7)& =a(7{)}^2+7b+c=49\\ f(7)& =49a+7b+c=49\\ 49a+7b+c& =49\\ 4a+2b+c& =4\\ 45a+5b& =45\text{ (f(7) dikurangi f(2)) }\\ 9a+b& =9\\ b& =-9a+9\\ 4a+2b+c& =4\\ 4a+2(-9a+9)+c& =4\\ 4a-18a+18+c& =4\\ -14a+18+c& =4\\ c& =14a-14\\ \frac{c-b}{a-1}& =\frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1}\\ & =\frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1}\\ & =\frac{(14+9)(a-1)}{a-1}\\ & =23\\ \end{array}$$

1. Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}(a+b{)}^3& =a^3+b^3+3ab(a+b)\\ 11^3& =242+3ab(11)\text{ (dibagi 11)}\\ 11^2& =22+3ab\\ 121& =22+3ab\\ 99& =3ab\\ ab& =33\\ (a-b{)}^2& =a^2+b^2-2ab\\ & =((a+b{)}^2-2ab)-2ab\\ & =(a+b{)}^2-4ab\\ & =11^2-4(33)\\ & =121-132\\ & =-11\\ \end{array}$$

1. Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari $\sqrt{2n-1}$?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}n& =2023^2+2024^2\\ & =2023^2+(2023+1{)}^2\\ \text{Misalkan 2023 = p}\\ n& =p^2+(p+1{)}^2\\ & =p^2+p^2+2p+1\\ & =2p^2+2p+1\\ \sqrt{2n-1}& =\sqrt{2(2p^2+2p+1)-1}\\ & =\sqrt{4p^2+4p+2-1}\\ & =\sqrt{4p^2+4p+1}\\ & =\sqrt{(2p+1{)}^2}\\ & =2p+1\\ & =2(2023)+1\\ & =4046+1\\ & =4047\\ \end{array}$$

1. Jika $\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{3}$, $\frac{bc}{b+c}=\frac{1}{4}$ dan $\frac{ac}{a+c}=\frac{1}{9}$ maka berapa hasil dari (a-c)^b?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}\frac{ab}{a+b}& =\frac{1}{3}\\ \frac{a+b}{ab}& =3\text{ (terbalik posisinya)}\\ \frac{1}{b}+\frac{1}{a}& =3\\ \frac{bc}{b+c}& =\frac{1}{4}\\ \frac{b+c}{bc}& =4\text{ (terbalik posisinya)}\\ \frac{1}{c}+\frac{1}{b}& =4\\ \frac{ac}{a+c}& =\frac{1}{9}\\ \frac{a+c}{ac}& =9\text{ (terbalik posisinya)}\\ \frac{1}{c}+\frac{1}{a}& =9\\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z}\\ x+y& =3\\ y+z& =4\\ x+z& =9\\ x+y& =3\\ y+z& =4\\ x-z& =-1\\ x-z& =-1\\ x+z& =9\\ 2x& =8\\ x& =4\\ x-z& =-1\\ 4-z& =-1\\ z& =5\\ x+y& =3\\ 4+y& =3\\ y& =-1\\ \frac{1}{a}& =4\\ a& =\frac{1}{4}\\ \frac{1}{b}& =-1\\ b& =-1\\ \frac{1}{c}& =5\\ c& =\frac{1}{5}\\ (a-c{)}^b& =(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}{)}^{-1}\\ & =(\frac{5-4}{20}{)}^{-1}\\ & =(\frac{1}{20}{)}^{-1}\\ & =20\\ \end{array}$$

1. Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?

Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu.

untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja.

untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja.

Jadi banyaknya bilangan mungkin 2.

1. Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!

Cara 1

1. 8¹ = 1
2. 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1)
3. 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1)
4. 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2)
5. 8⁵ = 1
6. 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli)

Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

Cara 2

1. 8ⁿ = b mod 7

1. 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil)
2. (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya)
3. 8ⁿ = 1ⁿ mod 7
4. 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1)

Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

1. Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5?

Cara 1

1. 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0

1. 7¹ = 7 (sisa 1)
2. 7² = 49 (sisa 2)
3. 7³ = 343 (sisa 3)
4. 7⁴ = 2,401 (sisa 0)
5. 7⁵ = 16,807
6. 7⁶ = 117,649

nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3

Cara 2

17¹ = 2

17² = 4

17³ = 3

17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 4 x 24 + 3

17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³

Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3

Cara 3

Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴

17⁴ = 1 mod 5

(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5

17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5

17⁹⁶ = 1 mod 5

17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5

17⁹⁹ = 17³ mod 5

17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5

17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5

17⁹⁹ = 8 mod 5

17⁹⁹ = 3 mod 5

Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3

1. Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7?

Cara 1

17¹ = 3

17² = 2

17³ = 6

17⁴ = 4

17⁵ = 5

17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 6 x 16 + 3

17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³

Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6

Cara 2

Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶

17⁶ = 1 mod 7

(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7

17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7

17⁹⁶ = 1 mod 7

17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7

17⁹⁹ = 17³ mod 7

17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7

17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7

17⁹⁹ = 27 mod 7

17⁹⁹ = 6 mod 7

Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6

1. Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}41^{2024}& =41^{2024}\text{ mod }33\\ & =(33\times 3+2{)}^{2024}\text{ mod }33\\ & =2^{2024}\text{ mod }33\\ & =2^{2020}{2}^4\text{ mod }33\\ & =(2^5{)}^{404}{2}^4\text{ mod }33\\ & =(33-1{)}^{404}{2}^4\text{ mod }33\\ & =(-1{)}^{404}{2}^4\text{ mod }33\\ & =2^4\text{ mod }33\\ & =16\text{ mod }33\\ \text{Jadi hasil sisa adalah }16\\ \end{array}$$

1. Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}99^{99}& =(3^2\times 11{)}^{99}\\ & =3^{198}\times 11^{99}\\ 243^n& =(3^5{)}^n\\ & =3^{5n}\\ \text{agar bisa membagi, maka}\\ 5n& =198\\ n& =39.6\\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah }39\\ \end{array}$$

1. Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸?

Jawaban

$$\begin{array}{cc}88^{88}& =(8\times 11{)}^{88}\\ & =8^{88}\times 11^{88}\\ & =8^{87}\times 8\times 11^{88}\\ & =(8^3{)}^{29}\times 8\times 11^{88}\\ & =512^{29}\times 8\times 11^{88}\\ 512^n& =512^{29}\\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah }29\\ \end{array}$$

1. Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!

Cara 1

KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105.

N dibagi 3 sisa 1

N dibagi 5 sisa 2

N dibagi 7 sisa 6

FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a

KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70

KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21

KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15

Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97

Cara 2

Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35

kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK.

KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, 97

KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 97

KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, 97

Jadi bilangan bulat positif adalah 97

NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202

1. Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?

Cara 1

Ember A (5 l)	Ember B (3 l)	Keterangan
5	0	Isikan 5 l ke ember A
2	3	Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
2	0	Semua isi ember B dibuang
0	2	Tuangkan sisa ember A ke B
5	2	Isikan 5 l ke ember A
4	3	Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4
4	0	Semua isi ember B dibuang
1	3	Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1

nah ada ember A berisi 1 liter.

Cara 2

Ember A (3 l)	Ember B (5 l)	Keterangan
3	0	Isikan 3 l ke ember A
0	3	Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
3	3	Isikan 3 l ke ember A
1	5	Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1

nah ada ember A berisi 1 liter.

1. Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?

Cara 1

Ember A (5 l)	Ember B (3 l)	Keterangan
5	0	Isikan 5 l ke ember A
2	3	Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2
2	0	Semua isi ember B dibuang
0	2	Tuangkan sisa ember A ke B
5	2	Isikan 5 l ke ember A
4	3	Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4

nah ada ember A berisi 4 liter.

Cara 2

Ember A (3 l)	Ember B (5 l)	Keterangan
3	0	Isikan 3 l ke ember A
0	3	Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
3	3	Isikan 3 l ke ember A
1	5	Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1
1	0	Semua isi ember B dibuang
0	1	Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong
3	1	Isikan 3 l ke ember A
0	4	Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong

nah ada ember B berisi 4 liter.