Soal-Soal Matematika/Kekontinuan

Fungsi kontinu

Fungsi f dikatakan kontinu di c ε [a,b] jika dipenuhi tiga hal sebagai berikut:

1. Fungsi terdefinisikan di c yaitu f(c) ada
2. $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to c}f(x)$ ada
3. $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to c}f(x)=f(c)$

contoh

1. Selidiki kontinuitas fungsi f(x) = x²+3x+5 di titik x=1!

jawaban:

f(1) = 1²+3(1)+5 = 9 ada (terdefinisikan)

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}f(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}{x}^2+3x+5=1^2+3(1)+5=9$ ada

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}f(x)=f(1)=9$

Karena ketiga syarat terpenuhi, maka f(x) kontinu di x = 1. Untuk selanjutnya dapat dibuktikan bahwa f(x) kontinu pada $-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$

1. Selidiki kontinuitas fungsi $f(x)=\frac{x^2-16}{x-4}$ di titik x=4!

jawaban:

untuk x = 4 maka f(4) = 0/0 tidak terdefinisikan

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 4}f(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 4}\frac{x^2-16}{x-4}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 4}\frac{(x+4)(x-4)}{x-4}=8$

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 4}f(x)\ne f(4)$

karena syarat kontinuitas tidak terpenuhi maka f(x) tidak kontinu di x = 4. Agar f(x) kontinu di x = 4 maka kita terdefinisikan bahwa

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^2-16}{x-4}& \text{ untuk }x\ne 4\\ 8& \text{ untuk }x=4\end{array}$

Fungsi polinom

$f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+\dots +a_{n-1}x+a_n$ kontinu di $-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$

Bila f(x) dan g(x) [dua fungsi polinom] maka

$f(x)\pm g(x)$ kontinu

$f(x)\cdot g(x)$ kontinu

$\frac{f(x)}{g(x)}$ kontinu kecuali pada x yang menyebabkan g(x) = 0

contoh

1. $f(x)=\{\begin{array}{cc}x& \text{ untuk }x<4\\ 4& \text{ untuk }x=4\\ 3x-8& \text{ untuk }x>4\end{array}$

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 4^{-}}f(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 4^{+}}f(x)=f(4)=4$

f(x) kontinu di x = 4

1. $f(x)=\{\begin{array}{cc}x& \text{ untuk }x<3\\ 2& \text{ untuk }x=3\\ x& \text{ untuk }x>3\end{array}$

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 3^{-}}f(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 3^{+}}f(x)=3$ tapi f(3) = 2

f(x) tidak kontinu di x = 3

Fungsi multak

f(x) = |x| kontinu di setiap nilai riil x

$f(x)=\sqrt[n]{x}$ dengan n ganjil kontinu di setiap nilai riil x

$f(x)=\sqrt[n]{x}$ dengan n genap kontinu di setiap nilai x > 0

contoh

1. Selidiki kontinuitas fungsi f(x) = |x| pada -∞ <x < ∞!

jawaban:

ingat kembali $f(x)=\{\begin{array}{cc}-x& \text{ untuk }x<0\\ 0& \text{ untuk }x=0\\ x& \text{ untuk }x>0\end{array}$

sekarang bagaimana kontinuitas di titik x = 0?

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0^{-}}(-x)=0$ dan $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0^{+}}(x)=0$

ternyata limit kiri = limit kanan = 0 = f(x). Fungsi f(x) kontinu di x = 0. Dengan demikian f(x) = |x| kontinu di semua x