Soal-Soal Matematika/Integral

Kaidah umum

1. $\int af(x)dx=a\int f(x)dx\text{(}a\text{ konstan)}$
2. $\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$
3. $\int [f(x)-g(x)]dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$
4. $\int f(x)g(x)dx=f(x)\int g(x)dx-\int [f^{\prime }(x)(\int g(x)dx)]dx$
5. $\int [f(x){]}^n{f}^{\prime }(x)dx=\frac{[f(x){]}^{n+1}}{n+1}+C\text{(untuk }n\ne -1\text{)}$
6. $\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+C$
7. $\int f^{\prime }(x)f(x)dx=\frac{1}{2}[f(x){]}^2+C$
8. $\int f(x)dx=F(x)+C$
9. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$

rumus sederhana

$\int dx=x+C$

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\text{ jika }n\ne -1$

$\int (ax+b{)}^{n}dx=\frac{(ax+b{)}^{n+1}}{a(n+1)}+C\text{ jika }n\ne -1$

$\int \frac{dx}{x}=\ln \left|x\right|+C$

$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$

Eksponen dan logaritma

$\int e^{x}dx=e^x+C$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

$\int \ln xdx=x\ln x-x+C$

$\int {}^b\log xdx=x\cdot {}^b\log x-x\cdot {}^b\log e+C$

Trigonometri

$\int \sin xdx=-\cos x+C$

$\int \cos xdx=\sin x+C$

$\int \tan xdx=\ln |\sec x|+C$

$\int \cot xdx=-\ln |\csc x|+C$

$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int \csc xdx=-\ln |\csc x+\cot x|+C$

Hiperbolik

$\int \sinh xdx=\cosh x+C$

$\int \cosh xdx=\sinh x+C$

$\int \tanh xdx=\ln |\cosh x|+C$

$\int \coth xdx=\ln |\sinh x|+C$

$\int \text{sech}xdx=\arctan (\sinh x)+C$

$\int \text{csch}xdx=\ln |\tanh \frac{x}{2}|+C$

jenis integral

integral biasa

Berikut contoh penyelesaian cara biasa.

$\int x^3-cos3x+e^{5x+2}-\frac{1}{2x+5}dx$

$=\frac{1}{3+1}{x}^{3+1}-\frac{sin3x}{3}+\frac{e^{5x+2}}{5}-\frac{ln(2x+5)}{2}+C$

$=\frac{x^4}{4}-\frac{sin3x}{3}+\frac{e^{5x+2}}{5}-\frac{ln(2x+5)}{2}+C$

integral substitusi

Berikut contoh penyelesaian cara substitusi.

$\int \frac{\ln (x)}{x}dx$

$t=\ln (x),dt=\frac{dx}{x}$

Dengan menggunakan rumus di atas,

$\begin{array}{cc}& \int \frac{\ln (x)}{x}dx\\ =& \int tdt\\ =& \frac{1}{2}{t}^2+C\\ =& \frac{1}{2}{\ln }^{2}x+C\end{array}$

integral parsial

Cara 1

Rumus

Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut.

$\int udv=uv-\int vdu$

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus.

$\int x\sin (x)dx$

$u=x,du=1dx,dv=\sin (x)dx,v=-\cos (x)$

Dengan menggunakan rumus di atas,

$\begin{array}{cc}& \int x\sin (x)dx\\ =& (x)(-\cos (x))-\int (-\cos (x))(1dx)\\ =& -x\cos (x)+\int \cos (x)dx\\ =& -x\cos (x)+\sin (x)+C\end{array}$

Cara 2

Tabel

Untuk $\int udv$, berlaku ketentuan sebagai berikut.

Tanda	Turunan	Integral
+	$u$	$dv$
-	$\frac{du}{dx}$	$v$
+	$\frac{d^{2}u}{d{x}^2}$	$\int vdx$

Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel.

$\int x\sin (x)dx$

Tanda	Turunan	Integral
+	$x$	$\sin (x)$
-	$1$	$-\cos (x)$
+	$0$	$-\sin (x)$

Dengan tabel di atas,

$\begin{array}{cc}& \int x\sin (x)dx\\ =& (x)(-\cos (x))-(1)(-\sin (x))+C\\ =& -x\cos (x)+\sin (x)+C\end{array}$

integral pecahan parsial

Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional).

$\int \frac{dx}{x^2-4}$

Pertama, pisahkan pecahan tersebut.

$\begin{array}{cc}=& \frac{1}{x^2-4}\\ =& \frac{1}{(x+2)(x-2)}\\ =& \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-2}\\ =& \frac{A(x-2)+B(x+2)}{x^2-4}\\ =& \frac{(A+B)x-2(A-B)}{x^2-4}\end{array}$

Kita tahu bahwa $A+B=0$ dan $A-B=-\frac{1}{2}$ dapat diselesaikan, yaitu $A=-\frac{1}{4}$ dan Templat:Nowrap

$\begin{array}{cc}& \int \frac{dx}{x^2-4}\\ =& \int -\frac{1}{4(x+2)}+\frac{1}{4(x-2)}dx\\ =& \frac{1}{4}\int \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}dx\\ =& \frac{1}{4}(\ln |x-2|-\ln |x+2|)+C\\ =& \frac{1}{4}\ln |\frac{x-2}{x+2}|+C\end{array}$

integral substitusi trigonometri

Bentuk	Trigonometri
$\sqrt{a^2-b^2{x}^2}$	$x=\frac{a}{b}\sin (\alpha )$
$\sqrt{a^2+b^2{x}^2}$	$x=\frac{a}{b}\tan (\alpha )$
$\sqrt{b^2{x}^2-a^2}$	$x=\frac{a}{b}\sec (\alpha )$

Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri.

$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}$

$x=2\tan (A),dx=2{\sec }^2(A)dA$

Dengan substitusi di atas,

$\begin{array}{cc}& \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\\ =& \int \frac{2{\sec }^2(A)dA}{(2\tan (A){)}^2\sqrt{4+(2\tan (A){)}^2}}\\ =& \int \frac{2{\sec }^2(A)dA}{4{\tan }^2(A)\sqrt{4+4{\tan }^2(A)}}\\ =& \int \frac{2{\sec }^2(A)dA}{4{\tan }^2(A)\sqrt{4(1+{\tan }^2(A))}}\\ =& \int \frac{2{\sec }^2(A)dA}{4{\tan }^2(A)\sqrt{4{\sec }^2(A)}}\\ =& \int \frac{2{\sec }^2(A)dA}{(4{\tan }^2(A))(2\sec (A))}\\ =& \int \frac{\sec (A)dA}{4{\tan }^2(A)}\\ =& \frac{1}{4}\int \frac{\sec (A)dA}{{\tan }^2(A)}\\ =& \frac{1}{4}\int \frac{\cos (A)}{{\sin }^2(A)}dA\end{array}$

Substitusi berikut dapat dibuat.

$\int \frac{\cos (A)}{{\sin }^2(A)}dA$

$t=\sin (A),dt=\cos (A)dA$

Dengan substitusi di atas,

$\begin{array}{cc}& \frac{1}{4}\int \frac{\cos (A)}{{\sin }^2(A)}dA\\ =& \frac{1}{4}\int \frac{dt}{t^2}\\ =& \frac{1}{4}(-\frac{1}{t})+C\\ =& -\frac{1}{4t}+C\\ =& -\frac{1}{4\sin (A)}+C\end{array}$

Ingat bahwa $\sin (A)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ berlaku.

$\begin{array}{cc}=& -\frac{1}{4\sin (A)}+C\\ =& -\frac{\sqrt{x^2+4}}{4x}+C\end{array}$

jenis integral lainnya

panjang busur

Sumbu x

$S=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx$

Sumbu y

$S=\underset{y_1}{\overset{y_2}{\int }}\sqrt{1+(f^{\prime }(y){)}^2}dy$

luas daerah

Satu kurva

Sumbu x

$L=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}f(x)dx$

Sumbu y

$L=\underset{y_1}{\overset{y_2}{\int }}f(y)dy$

Dua kurva

Sumbu x

$L=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}(f(x_2)-f(x_1))dx$

Sumbu y

$L=\underset{y_1}{\overset{y_2}{\int }}(f(y_2)-f(y_1))dy$

atau juga $L=\frac{D\sqrt{D}}{6a^2}$

luas permukaan benda putar

Sumbu x sebagai poros

$L_p=2\pi \underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}f(x)ds$

dengan

$ds=\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx$

Sumbu y sebagai poros

$L_p=2\pi \underset{y_1}{\overset{y_2}{\int }}f(y)ds$

dengan

$ds=\sqrt{1+(f^{\prime }(y){)}^2}dy$

volume benda putar

Satu kurva

Sumbu x sebagai poros

$V=\pi \underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}(f(x){)}^{2}dx$

Sumbu y sebagai poros

$V=\pi \underset{y_1}{\overset{y_2}{\int }}(f(y){)}^{2}dy$

Dua kurva

Sumbu x sebagai poros

$V=\pi \underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}((f(x_2){)}^2-(f(x_1){)}^2)dx$

Sumbu y sebagai poros

$V=\pi \underset{y_1}{\overset{y_2}{\int }}((f(y_2){)}^2-(f(y_1){)}^2)dy$

integral lipat

Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga.

contoh

• Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis $y=x$ dan batas-batas sumbu y dengan cara integral!

$\begin{array}{cc}L& =\int xdx\\ L& =\frac{1}{2}{x}^2\\ L& =\frac{1}{2}xy(y=x)\end{array}$

• Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis $y=x^2$ dan batas-batas sumbu y dengan cara integral!

$\begin{array}{cc}L& =\int x^{2}dx\\ L& =\frac{1}{3}{x}^3\\ L& =\frac{1}{3}xy(y=x^2)\end{array}$

• Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis $y=\sqrt{x}$ dan batas-batas sumbu y dengan cara integral!

$\begin{array}{cc}L& =\int \sqrt{x}dx\\ L& =\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\\ L& =\frac{2}{3}xy(y=\sqrt{x})\end{array}$

• Buktikan luas persegi $L=s^2$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y=s$ dan titik (s, s),

$\begin{array}{cc}L& =\underset{0}{\overset{s}{\int }}sdx\\ L& =sx{|}_0^s\\ L& =ss-0\\ L& =s^2\end{array}$

• Buktikan luas persegi panjang $L=pl$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y=l$ dan titik (p, l),

$\begin{array}{cc}L& =\underset{0}{\overset{p}{\int }}ldx\\ L& =lx{|}_0^p\\ L& =pl-0\\ L& =pl\end{array}$

• Buktikan luas segitiga $L=\frac{at}{2}$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y=\frac{-tx}{a}+t$ dan titik (a, t),

$\begin{array}{cc}L& =\underset{0}{\overset{a}{\int }}(\frac{-tx}{a}+t)dx\\ L& ={\frac{-t{x}^2}{2a}+tx|}_0^a\\ L& =\frac{-t{a}^2}{2a}+ta-0+0\\ L& =\frac{-ta}{2}+ta\\ L& =\frac{at}{2}\end{array}$

• Buktikan volume tabung $V=\pi r^{2}t$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y=r$ dan titik (t, r),

$\begin{array}{cc}V& =\pi \underset{0}{\overset{t}{\int }}{r}^{2}dx\\ V& =\pi {r^{2}x|}_0^t\\ V& =\pi r^{2}t-0\\ V& =\pi r^{2}t\end{array}$

• Buktikan volume kerucut $V=\frac{\pi r^{2}t}{3}$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y=\frac{rx}{t}$ dan titik (t, r),

$\begin{array}{cc}V& =\pi \underset{0}{\overset{t}{\int }}{\left(\frac{rx}{t}\right)}^{2}dx\\ V& =\pi {\frac{r^2{x}^3}{3t^2}|}_0^t\\ V& =\pi \frac{r^2{t}^3}{3t^2}-0\\ V& =\frac{\pi r^{2}t}{3}\end{array}$

• Buktikan volume bola $V=\frac{4\pi r^3}{3}$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y=\sqrt{r^2-x^2}$ serta titik (-r, 0) dan (r, 0),

$\begin{array}{cc}V& =\pi \underset{-r}{\overset{r}{\int }}{\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)}^{2}dx\\ V& =\pi \underset{-r}{\overset{r}{\int }}{r}^2-x^{2}dx\\ V& =\pi {r^{2}x-\frac{x^3}{3}|}_{-r}^r\\ V& =\pi (r^3-\frac{r^3}{3}-(-r^3+\frac{r^3}{3}))\\ V& =\frac{4\pi r^3}{3}\end{array}$

• Buktikan luas permukaan bola $L=4\pi r^2$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y=\sqrt{r^2-x^2}$ serta titik (-r, 0) dan (r, 0),

Kita tahu bahwa turunannya adalah

$y^{\prime }=\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}$

selanjutnya

$\begin{array}{cc}ds& =\sqrt{1+(\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}{)}^2}dx\\ ds& =\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx\\ ds& =\sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}}dx\\ ds& =\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}dx\\ \end{array}$

sehingga

$\begin{array}{cc}L& =2\pi \underset{-r}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2-x^2}\cdot \frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}dx\\ L& =2\pi \underset{-r}{\overset{r}{\int }}rdx\\ L& =2\pi r{x}_{-r}^r\\ L& =2\pi (rr-r(-r))\\ L& =2\pi (r^2+r^2)\\ L& =4\pi r^2\end{array}$

• Buktikan keliling lingkaran $K=2\pi r$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y=\sqrt{r^2-x^2}$ serta titik (-r, 0) dan (r, 0),

Kita tahu bahwa turunannya adalah

$y^{\prime }=\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}$

sehingga

$\begin{array}{cc}K& =4\underset{0}{\overset{r}{\int }}\sqrt{1+(\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}{)}^2}dx\\ K& =4\underset{0}{\overset{r}{\int }}\sqrt{1+(\frac{x^2}{r^2-x^2})}dx\\ K& =4\underset{0}{\overset{r}{\int }}\sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}}dx\\ K& =4r\underset{0}{\overset{r}{\int }}\sqrt{\frac{1}{r^2-x^2}}dx\\ K& =4r\underset{0}{\overset{r}{\int }}\frac{1}{\sqrt{r^2-x^2}}dx\\ K& =4r{\arcsin \left(\frac{x}{r}\right)|}_0^r\\ K& =4r(\arcsin \left(\frac{r}{r}\right)-\arcsin \left(\frac{0}{r}\right))\\ K& =4r(\arcsin \left(1\right)-\arcsin \left(0\right)))\\ K& =4r\left(\frac{\pi }{2}\right)\\ K& =2\pi r\end{array}$

• Buktikan luas lingkaran $L=\pi r^2$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y=\sqrt{r^2-x^2}$ serta titik (-r, 0) dan (r, 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu.

$\begin{array}{cc}\sin (\theta )& =\frac{x}{r}\\ x& =r\sin (\theta )\\ dx& =r\cos (\theta )d\theta \end{array}$

Dengan turunan di atas,

$\begin{array}{cc}L& =4\underset{0}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2-x^2}dx\\ L& =4\underset{0}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2-(r\sin (\theta ){)}^2}dx\\ L& =4\underset{0}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2-r^2{\sin }^2(\theta )}dx\\ L& =4\underset{0}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2(1-{\sin }^2(\theta ))}dx\\ L& =4\underset{0}{\overset{r}{\int }}r\cos (\theta )dx\\ L& =4\underset{0}{\overset{r}{\int }}r\cos (\theta )(r\cos (\theta )d\theta )\\ L& =4\underset{0}{\overset{r}{\int }}{r}^2{\cos }^2(\theta )d\theta \\ L& =4r^2\underset{0}{\overset{r}{\int }}\left(\frac{1+\cos (2\theta )}{2}\right)d\theta \\ L& =2r^2\underset{0}{\overset{r}{\int }}(1+\cos (2\theta ))d\theta \\ L& =2r^2{(\theta +\frac{1}{2}\sin (2\theta ))}_0^r\\ L& =2r^2(\theta +\sin (\theta )\cos (\theta ){)}_0^r\\ L& =2r^2{(\arcsin \left(\frac{x}{r}\right)+\left(\frac{x}{r}\right)\left(\frac{r^2-x^2}{r}\right))}_0^r\\ L& =2r^2(\arcsin \left(\frac{r}{r}\right)+\left(\frac{r}{r}\right)\left(\frac{r^2-r^2}{r}\right))-(\arcsin \left(\frac{0}{r}\right)+\left(\frac{0}{r}\right)\left(\frac{r^2-0^2}{r}\right))\\ L& =2r^2(\arcsin (1)+0-(\arcsin (0)+0))\\ L& =2r^2\left(\frac{\pi }{2}\right)\\ L& =\pi r^2\end{array}$

• Buktikan luas elips $L=\pi ab$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y=\frac{b\sqrt{a^2-x^2}}{a}$ serta (-a, 0) dan (a, 0),

$\begin{array}{cc}L& =4\underset{0}{\overset{r}{\int }}\frac{b\sqrt{a^2-x^2}}{a}dx\\ L& =\frac{4b}{a}\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{a^2-x^2}dx\end{array}$

Dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-a, 0) dan (a, 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips,

$\begin{array}{cc}\frac{L_{\text{elips}}}{L_{\text{ling}}}& =\frac{\frac{4b}{a}\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{a^2-x^2}dx}{4\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{a^2-x^2}dx}\\ \frac{L_{\text{elips}}}{L_{\text{ling}}}& =\frac{b}{a}\\ L_{\text{elips}}& =\frac{b}{a}{L}_{\text{ling}}\\ L_{\text{elips}}& =\frac{b}{a}\pi a^2\\ L_{\text{elips}}& =\pi ab\end{array}$