Kalkulus/Pengenalan Limit

Dilihat secara intuitif

Limit adalah subjek matematika yang mempelajari apa yang terjadi pada suatu fungsi ketika inputnya dimasukkan mendekati suatu angka. Notasi umum untuk limit adalah:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)$

Ini dibaca sebagai "Limit dari $f(x)$ ketika $x$ mendekati $a$. Nanti kita akan membahas kapan kita dapat menentukan apakah suatu limit ada untuk setiap $f(x)$ pada $a$ atau tidak, dan apa artinya jika limit tersebut ada. Sekarang, kita akan melihat dari sudut pandang intuitif terlebih dahulu.

Katakan jika ada sebuah fungsi $f(x)=x^2$, dan kita akan memasukkan pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$. Dengan menggunakan notasi diatas, kita dapat menuliskan limitnya sebagai:

$\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2$

Cara yang dipakai untuk mendapatkan berapa nilai limit adalah dengan mencoba masukkan angka yang mendekati 2, hitunglah nilai masing-masing pada fungsi $f(x)$, dan lihat apa yang terjadi ketika x mendekati 2. Dapat dilihat di tabel di bawah ini:

$x$	1,7	1,8	1,9	1,95	1,99	1,999
$f(x)=x^2$	2,89	3,24	3,61	3,8025	3,9601	3,996001

Sekarang kita coba masukkan untuk angka yang mendekati 2 dari atas:

$x$	2,3	2,2	2,1	2,05	2,01	2,001
$f(x)=x^2$	5,29	4,84	4,41	4,2025	4,0401	4,004001

Dari hasil tabel diatas, dapat kita lihat bahwa jika nilai $x$ semakin mendekati angka 2, maka nilai $f(x)$ akan semakin mendekati 4, baik dari atas maupun dari bawah. Untuk alasan ini, maka kita dapat memastikan bahwa limit $x^2$ ketika $x$ mendekati 2 adalah 4, atau jika ditulis dalam notasi limit,

$\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2=4.$

Sekarang mari kita lihat contoh lainnya. Kita akan melihat karakter dari fungsi $f(x)=\frac{1}{x-2}$ ketika nilai $x$ dimasukkan mendekati 2. Limitnya adalah:

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{x-2}$

Seperti sebelumnya, kita dapat memasukkan nilai-nilai $x$ yang mendekati 2 dari bawah maupun dari atas. Berikut ini tabel untuk nilai $x$ mendekati 2 dari bawah:

$x$	1,7	1,8	1,9	1,95	1,99	1,999
$f(x)=\frac{1}{x-2}$	-3,333	-5	-10	-20	-100	-1000

Dan tabel ini untuk $x>$ mendekati 2 dari atas:

$x$	2,3	2,2	2,1	2,05	2,01	2,001
$f(x)=\frac{1}{x-2}$	3,333	5	10	20	100	1000

Pada kasus ini, terlihat bahwa fungsi tidak memiliki satu nilai untuk $x$ mendekati 2, tapi malah salig berjauhan satu sama lain. Limit ini disebut dengan limit tak terhingga. Perhatikan bahwa kita tidak dapat memasukkan angka 2 dalam fungsi $\frac{1}{x-2}$ karena berarti akan membaginya dengan nol.