Subjek:Matematika/Materi:Lingkaran

Subbagian ini akan membahas tentang lingkaran, persamaan lingkaran, beserta dengan garis singgung lingkaran.

Persamaan lingkaran

Lingkaran dengan jari-jari r=1, berpusat di (a,b)=(1,2 , 0,5)

Persamaan Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (x,y) yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu.

Persamaan umum lingkaran adalah:

$\mathit{(}x-x_p{)}^2+(y-y_p{)}^2=r^2$

Mencari jarak antara 2 titik A (x₁,y₁) dan B (x₂,y₂):

$r=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Mencari jarak antara titik A (x₁,y₁) dan garis Ax+By+C=0 :

$d=\left|\frac{A{x}_1+B{y}_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$

Mencari jari-jari (r) jika diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$:

$r=\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}$

Contoh 1:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(2,7) dan melalui B(5,3)!

Jawab:

$r=\sqrt{(5-2{)}^2+(3-7{)}^2}$

$r=\sqrt{25}$

$r=5$

$\mathit{(}x-x_p{)}^2+(y-y_p{)}^2=r^2$

$\mathit{(}x-2{)}^2+(y-7{)}^2=25$

$x^2+y^2-4x-14y+28=0$

Contoh 2:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di puncak parabola $y=x^2-2x+5$ dan menyinggung garis $3x+4y+5=0$!

Jawab:

$y=x^2-2x+5$

$x_p=-\frac{b}{2a}=-(\frac{-2}{2})=1$

$y_p=1^2-2\times 1+5=4$

maka berarti titik pusatnya berada pada koordinat (1,4).

$3x+4y+5=0$

$A=3,B=4,C=5$

$d=r=\left|\frac{A{x}_1+B{y}_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$

$d=r=\left|\frac{3\times 1+4\times 4+5}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|$

$d=r=\frac{24}{5}$

$\mathit{(}x-x_p{)}^2+(y-y_p{)}^2=r^2$

$\mathit{(}x-1{)}^2+(y-4{)}^2=\frac{576}{25}$

$x^2+y^2-2x-8y+17-\frac{576}{25}=0$

$25x^2+25y^2-50x-200y-151=0$

Kedudukan garis terhadap lingkaran

Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran, substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax²+bx+c=0.

Lihat diskriminannya: $D=b^2-4ac$

Jika

• D<0, berarti garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)
• D=0, berarti garis menyinggung lingkaran
• D>0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.

Contoh 1:

• Tentukan posisi garis:
  • $y=x+10$ terhadap lingkaran $x^2+y^2=9$

Jawab:

$x^2+(x+10{)}^2=9$

$x^2+(x^2+20x+100)-9=0$

$2x^2+20x+91=0$

$D=b^2-4ac$

$D=20^2-4\times 91\times 2$

$D=400-728=-328$

Karena $D<0$, maka garis berada di luar lingkaran.

Contoh 2:

• Tentukan p agar garis $y=-x+p$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2-2x-4y+3=0$!

Jawab:

$x^2+(-x+p{)}^2-2x-4(-x+p)+3=0$

$2x^2-2px+p^2-2x+4x-4p+3=0$

$2x^2+(2-2p)x+p^2-4p+3=0$

syarat: $D<0$

$(2-2p{)}^2-4(2)(p^2-4p+3)<0$

$4p^2-8p+4-8p^2+32p-24<0$

$-4p^2+24p-20<0$

$-4(p^2-6p+5)<0$

$-4(p-5)(p-1)<0$

$p=5$ atau $p=1$

Gambar dengan garis bilangan untuk pertidaksamaan diatas, maka akan didapatkan nilai p: $p<1$ atau $p>5$

Persamaan garis singgung lingkaran

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x₁,y₁) yang terletak pada lingkaran

• Jika persamaan lingkaran $x^2+y^2=r^2$, maka persamaan garis singgungnya:

$x_{1}x+y_{1}y=r^2$

• Jika persamaan lingkaran $(x-x_p{)}^2+(y-y_p{)}^2=r^2$, maka persamaan garis singgungnya:

$(x_1-x_p)(x-x_p)+(y_1-y_p)(y-y_p)=r^2$

• Jika persamaan lingkaran berbentuk $x^2+y^2+Ax+By+C=0$, maka persamaan garis singgungnya:

$x_{1}x+y_{1}y+\frac{1}{2}A(x+x_1)+\frac{1}{2}B(y+y_1)+C=0$

Persamaan lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ dapat juga diubah menjadi $(x-x_p{)}^2+(y-y_p{)}^2=r^2$ dengan kuadrat sempurna, sehingga rumus yang harus dihafalkan jadi lebih sedikit.

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

$y=mx\pm r\sqrt{m^2+1}$ atau $y-y_p=m(x-x_p)\pm r\sqrt{m^2+1}$