Lihat sumber Soal-Soal Matematika/Pertumbuhan dan peluruhan

== Pertumbuhan ==
; linier: <math>P_n = P_o (1+in)</math>
; eksponensial: <math>P_n = P_o (1+i)^n</math>

keterangan:
# Pn = nilai besaran setelah n periode
# Po = nilai besaran di awal periode
# i = tingkat pertumbuhan
# n = banyaknya periode pertumbuhan

contoh

# Penduduk di suatu kota X mencapai 2 juta jiwa pada tahun 
2020. Bila jumlah penduduk meningkat dengan laju 2% per tahun, maka berapa banyaknya penduduk di kota tersebut pada tahun 2025?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div>
<div class="mw-collapsible-content">
<math display="block">
\begin{align}
P_o &= 2.000.000 \\
i &= 0,02 \\
n &= 2025-2020 = 5 \\

P_n &= P_o (1+i)^n \\
P_5 &= 2.000.000 (1+0,02)^5 \\
 &= 2.000.000(1,02)^5 \\
 &= 2.208.162 \\
\end{align}
</math>
</div></div>

Jadi penduduk di kota X pada tahun 2025 diperkirakan sebanyak 2.208.162 jiwa.

# Diketahui tingkat pertumbuhan penduduk di suatu daerah adalah 10% per tahun. Berapa kenaikan jumlah penduduk dalam kurun waktu 4 tahun?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div>
<div class="mw-collapsible-content">
<math display="block">
\begin{align}
i &= 0,01 \\
n &= 4 \\

P_n &= P_o (1+i)^n \\
P_4 &= P_o (1+0,01)^4 \\
 &= P_o(1,01)^4 \\
 &= P_o(1,4641) \\
 &= P_o(1 + 0,4641) \\
\end{align}
</math>
</div></div>

Jadi kenaikan jumlah penduduk dalam kurun waktu 4 tahun adalah 46,41%.

== Peluruhan ==
; linier: <math>P_n = P_o (1-in)</math>
; eksponensial: <math>P_n = P_o (1-i)^n</math>

keterangan:
# Pn = nilai besaran setelah n periode
# Po = nilai besaran di awal periode
# i = tingkat peluruhan
# n = banyaknya periode peluruhan

*khusus zat radioaktif
yaitu <math>N = N_o (\frac{1}{2})^n</math> dengan <math>n = \frac{t}{T}</math>

keterangan:
# N = banyaknya zat radioaktif yang tersisa
# No = banyaknya zat radioaktif mula-mula
# t = lamanya peluruhan
# T = waktu paruh

contoh
# Ketika sedang memeriksa seorang bayi yang menderita infeksi telinga, dokter spesialis THT (Telinga, Hidung, dan Tenggorokan) mendiagnosis bahwa mungkin terdapat 1.000.000 unit bakteri yang menginfeksi. Pemberian penisilin yang diresepkan dokter diperkirakan dapat membunuh 5% dari jumlah bakteri yang ada setiap 4 jam. Berapa jumlah bakteri setelah 12 jam akan tersisa?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div>
<div class="mw-collapsible-content">
<math display="block">
\begin{align}
P_o &= 1.000.000 \\
i &= 0,05 \\
n &= \frac{12}{4} = 3 \\

P_n &= P_o (1-i)^n \\
P_3 &= 1.000.000 (1+0,05)^3 \\
 &= 1.000.000(1,05)^3 \\
 &= 857.375 \\
\end{align}
</math>
</div></div>

Jadi jumlah bakteri setelah 12 jam akan tersisa 857.375 unit.

# Suatu radioaktif mineral meluruh secara eksponensial dengan laju peluruhan 8% setiap jam. Berapa persentase kadar radioaktif mineral tersebut setelah 3 jam?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div>
<div class="mw-collapsible-content">
<math display="block">
\begin{align}
i &= 0,08 \\
n &= 3 \\

P_n &= P_o (1-i)^n \\
P_4 &= P_o (1-0,08)^3 \\
 &= P_o(0,82)^3 \\
 &= P_o(0,7787) \\
\end{align}
</math>
</div></div>

Jadi persentase kadar radioaktif mineral tersebut setelah 3 jam adalah 77,87%.

# Suatu zat radioaktif dengan massa 200 gram memiliki waktu paruh 5 tahun. Berapa tahun waktu yang diperlukan zat radioaktif tersebut sehingga massanya menjadi 3,125 gram?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div>
<div class="mw-collapsible-content">
<math display="block">
\begin{align}
N_o &= 200 \\
N &= 3,125 \\
T &= 5 \\

N &= N_o (\frac{1}{2})^n \\
3,125 &= 2.000 (\frac{1}{2})^n \\
\frac{3,125}{200} &= ({\frac{1}{2}})^n \\
\frac{1}{64} &= ({\frac{1}{2}})^n \\
({\frac{1}{2}})^6 &= ({\frac{1}{2}})^n \\

t &= nT \\
&= 6 \cdot 5 \\
&= 30 \\
\end{align}
</math>
</div></div>

Jadi waktu yang diperlukan zat radioaktif tersebut sehingga massanya menjadi 3,125 gram adalah 30 tahun.

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]